Blog Matematika Pak Satria

Bertunangan
Sumber: https://media.easy-peasy.ai/

Dua bilangan dikatakan bertunangan (Betrothed), jika penjumlahan pembagi aslinya adalah lebih satu dari pasangannya.

Contoh:

48 dan 75
- Pembagi asli dari 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, dan 24. Jumlahnya: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76 = 75 + 1
- Pembagi asli dari 75 adalah 1, 3, 5, 15, dan 25. Jumlahnya 1 + 3 + 5 + 15 + 25 = 49 = 48 + 1.
140 dan 195
- Pembagi asli dari 140: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, dan 70. Jumlahnya 1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70=196= 195+1
- Pembagi asli dari 195: 1, 3, 5, 13, 15, 39, dan 65. Jumlahnya 1+3+5+13+15+39+65= 141= 140+1
***

Semua pasangan bilangan yang bertunangan yang diketahui sampai saat ini adalah pasangan genap-ganjil.

Apakah selalu begitu?

Tidak tahu, ini masih merupakan masalah terbuka, masih misteri di Matematika
January 19, 2026

bilangan, pasangan, tunangan
Paradoks Bertrand

Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) adalah seorang matematikawan Prancis yang menulis buku yang pengaruh tentang teori probabilitas, judulnya: Calcul des probabilités . Di buku tersebut ada 1 soal yang sangat seru:

Diberikan lingkaran dan segitiga sama sisi didalam lingkaran yang ketiga sudutnya berada pada lingkaran. Jika kita mengambar tali busur sacara acak berapa peluang panjangnya lebih panjang daripada sisi segitiga?

Untuk bisa memahami soal pertama-tama kita gambar dulu segitiga sama sisi di dalam lingkaran

Selanjutnya kita gambar beberapa tali busur secara acak

Nah pertanyaannya, berapa peluang tali busur lebih panjang daripada sisi segitiga sama sisi? Jika kita notasilan tali busur adalah $l$ dan sisi segitiga adalah $s$ maka pertanyaanya menjadi berapa nilai $P\left( l>s \right)$ ?

Bernard memberikan 3 metode/argumen untuk menjawab pertanyaan ini. Metode ini berdasarkan bagaimana mengkontruksikan tali busur
(more…)

January 18, 2026

paradoks, peluang, segi tiga, tali busur
Invers dari rumus Pythagoras
Sumber: BBC.com

Kita semua tahu rumus pythagoras yang termasyhur $a^2+b^2=c^2$ . Pernah kalian bertanya

Apa yang terjadi jika $a^2$ dan $b^2$ kita invers? Apa yang terjadi jika $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ ?

Dinotasikan $t$ garis tinggi yang menghubungkan sudut siku-siku dan sisi miring

Dinotasikan $L$ luas segitiga siku-siku dengan rumus

$L=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ct$

diperoleh
- (1) $2L=ab$
- (2) $\frac{2L}{t}=c$
Selajutnya kita jabarkan
(more…)
January 15, 2026

invers, pytagoras, rumus
4 kurang dari 3

$\frac{1}{16}<\frac{1}{8}$

$\left( \frac{1}{2} \right)^4<\left( \frac{1}{2} \right)^3$

Logaritma kan kedua sisi dengan logaritma berbasis 1/2

$\log_{1/2}\left( \frac{1}{2} \right)^4<\log_{1/2}\left( \frac{1}{2} \right)^3$

$4\log_{1/2}\left( \frac{1}{2} \right)<3\log_{1/2}\left( \frac{1}{2} \right)$

Ingat $\log_{a}a=1$

$4\cdot 1<3 \cdot 1$

$4<3$

Apa yang salah?
(more…)

January 9, 2026

fallacy, logarima
Satuannya harus sama

Lembar kerja putri saya di Bimba. Coba deh perhatikan soal ke-3 dan 4.

Berapa 3 sapi + 3 kucing?

Mungkin kamu akan menjawab 6 sapi dan kucing/6 hewan/6 mamalia. Namun kalau aturan mainnya seperti itu, bagaimana dengan 3 miliar + 3 ribu? Apakah akan dijawab 6 miliar dan ribu atau 6 angka? Tentu tidak kan

Prinsip penjumlahan/penguragan adalah satuannya harus sama. Kedua soal tersebut melanggar prinsip ini. Saya sudah menghubungi pihak bimba untuk direvisi. Terlihat sepele memang, namun menurut saya di jaman AI sekarang kita harus paham hal-hal mendasar, biarkan urusan teknis perhitungan diserahkan ke AI dengan otak komputernya. Yang terpenting kita benar-bebar apa yang mau kita hitung dan prinsip perhitungannya seperti apa.

January 8, 2026

kucing, penjumlahan, prinsip, satuan
Persoalan Jarum Buffon

Sumber:https://steemit.com/

Georges-Louis Leclerc atau dikenal dengan nama Comte de Buffon hidup sekitar 1707-1788 di Prancis. Dia lah pertama kali mencetuskan ide tentang evolusi bahwa spesies berubah seiring berjalan waktu. Sebelum akhirnya ide ini dikembangkan, diteliti lebih jauh oleh Charles Darwin. Dia juga memperkirakan bahwa umur bumi sekitar 75.000 tahun ketika di zaman itu mayoritas orang berpikir usia bumi tidak lebih dari 6.000 tahun. Pada ranah matematika, dia terkenal karena menuliskan dan juga menjawab suatu soal yang dikenal dengan sebutan Persoalan Jarum Buffon.

Diberikan jarum dengan panjang $L$ yang dilemparkan ke bidang datar yang memiliki pola garis-garis paralel dengan jarak antar garis $d$ . Jika $d>L$ , berapa peluang jatuhnya jarum akan bersilangan dengan garis?

Buat yang masih bingung apa maksud soalnya, silahkan klik di sini untuk melihat simulasinya.

Jika kita melempar jarum pada bidang bergaris maka hanya ada dua kemungkinan tertelak di antara garis atau bersilangan dengan garis. Pertama-tama kita akan menghitung $\text{P(tidak bersilangan)}$ , Peluang jatuhnya jarum di antara garis maka $\text{P(bersilangan)}=1-\text{P(tidak bersilangan)}$
(more…)

January 7, 2026

jarum, lingkaran
Paradoks Ross–Littlewood
Sumber: https://steemit.com/

Bayangkan kamu punya bola yang tak hingga banyaknya, bola tersebut kamu beri nomer 1,2,3,4.. dst dan kamu juga punya kendi ajaib yang bisa menampung semua bola. Dalam durasi 1 menit/6o detik kamu akan memasukkan semua bola ke dalam kendi dengan aturan sebagai berikut:
- 30 detik pertama masukkan bola nomer 1-10 lalu keluarkan bola nomer 1
- 15 detik selanjutnya masukkan bola nomer 11-20 lalu keluarkan bola nomer 2
- 7,5 detik selanjutnya masukkan bola nomer 11-20 lalu keluarkan bola nomer 3
Secara umum langkah ke-n akan dilakukan pada $\frac{1}{2^n}$ menit dengan memasukkan bola nomer 10n-9 sampai 10n lalu keluarkan bola nomer n

Nah..sekarang pertanyaannya?

Ketika waktu habis, berapa banyak bola didalam kendi?
(more…)
January 4, 2026

bola, kendi, paradoks, tak hingga
Galileo dan Dadu
Sumber: Wikipedia

Kalau kita belajar probabilitas/peluang maka pasti ada 3 hal yang sering dijadikan contoh: dadu, koin dan kartu. Mengapa? Karena sejarah Teori peluang muncul dari permainan ketiga benda tersebut. Tentu saja permainan adalah istilah sopan untuk judi. Dengan kata lain teori peluang muncul dari judi. Sampai sekarang judi dadu, koin dan kartu masih sering dimainkan.

Dahulu para penjudi hanya mengandalkan naluri, insting, wangsit atau perkataan dukun untuk menentukan kombinasi angka/kartu mana yang mungkin muncul. Seiring berjalannya waktu para penjudi menyadari ada kombinasi yang sering muncul daripada yang lain. Ada kombinasi yang peluangnya lebih besar daripada yang lain. Dari sini timbul pertanyaan:
- Mengapa suatu kombinasi peluangnya lebih besar daripada yang lainnya?
- Bagaimana menentukan besar peluang dari suatu kombinasi?
Dari sinilah lahir teori peluang

Pada permainan 3 dadu, para penjudi menyadari bahwa peluang munculnya mata dadu berjumlah 10 lebih besar dari 9 padahal memiliki kombinasi yang sama banyak, sama-sama memiliki 6 kombinasi
- Kombinasi 10 adalah: (1.3.6),(1.4.5),(2.2.6),(2.3.5),(2.4.4) dan (3.3.4)
- Kombinasi 9 adalah (1.2.6),(1.3.5),(1.4.4),(2.2.5),(2.3.4) dan (3.3.3)
Mengapa 10 lebih besar peluangnya daripada 9 padahal sama-sama memiliki 6 kombinasi angka?
(more…)
December 31, 2025

dadu, galileo, peluang, probabilitas
Teorema Midy
Waktu SD, kita belajar jika suatu pecahan $\frac{a}{b}$ diubah ke bentuk desimal maka ada 2 kemungkinan:
1. Desimalnya berhingga
2. Desimalnya tak hingga dan terjadi pengulangan, terbentuk pola.
Note: Kita sepakat dulu, yang dimaksud desimal adalah angka setelah koma.

Contoh:
- $\frac{1}{8}=0,125$ desimal berhingga 3 angka
- $\frac{5}{33}=0,1515151515...$ desimal tak hingga dengan pengulangan setiap 2 angka. Untuk mempermudah penulisan biasanya ditulis $\frac{5}{33}=0,\overline{15}$ , garis diatas disebut viculum, penegasan bahwa 15 terus berulang tanpa akhir.
Pada tahun 1836, Matematikawan asal prancis E Midy menemukan sifat yang menarik dari desimal berulang

Teorema Midy: Diberikan pecahan $\frac{a}{p}$ dalam bentuk paling sederhana dengan kata lain fpb(a,p)=1 dan p adalah prima lebih dari 5. Jika desimal berulangnya sebanyak genap angka kemudian dipecah menjadi 2 bagian maka hasil penjumlahan 2 bagian tersebut adalah deretan angka 9.

Teorema Midy ini tergantung dari nilai p, jika $\frac{1}{p}$ memenuhi teorema ini maka $\frac{a}{p}$ juga akan mengikuti, tentu saja dengan syarat fpb nya 1
(more…)
December 25, 2025

desimal
Archimedes mengukur lingkaran bagian 2

Lanjutan postingan sebelumnya. Sekarang kita bahas bagian ke-2 dari makalah mengukur suatu lingkaran karya sang legenda Archimedes.

Pernyataan: Rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya lebih kecil daripada $3\frac{1}{7}$ tapi lebih besar daripada $3\frac{10}{71}$

Dengan kata lain, Archimedes menyatakan

$3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}$

$\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}$

Jadi ${22}{7}$ yang sekarang sering kita gunakan sebenernya adalah batas atas perkiraan nilai π menurut Archimedes. Karena batas bawah π angkanya sulit dihapal daripada batas atasnya jadinya ${223}{71}$ terlupakan. Selisih antara batas atas dan bawah cuman 0,002 sekian

Bukti

Pembuktian ini berdasarkan karya dia sebelumnya yang menunjukkan batas atas dan bawah dari akar 3

$\frac{265}{153}<\sqrt{3}<\frac{1351}{780}$

Batas Atas

Selanjutnya diberikan AB diameter dari suatu lingkaran dan O titik tengahnya, garis AC menyinggung lingkaran di A serta membentuk sudut AOC sebesar 30°.

Berlaku

$\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}=\frac{OA }{AC}>\frac{265}{153}$

dan

$\csc 30^{\circ }=\frac{OC}{AC}=2=\frac{306}{153}$

Langkah pertama, kita gambar garis OD membagi 2 sudut AOC dengan D terletak di garis AC.
(more…)

December 20, 2025

Archimedes., lingkaran, pi