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O modelo do vento nas árvores

novembro 18, 2011 por matheuscmss

O post (bem curto) de hoje traz os slides (disponiveis nesse link aqui) de uma palestra que eu farei hoje na UFRJ (em razao do seminario EDAI) a convite do meu amigo Jairo Bochi. De modo resumido, os slides discutem o uso (por V. Delecroix, P. Hubert e S. Lelievre) dos expoentes de Lyapunov do chamado cociclo de Kontsevich-Zorich no estudo das taxas de difusao de trajetorias no modelo do vento nas arvores de Ehrenfest (uma proposta de modelo para os chamados gases de Lorenz). Espero que voces gostem da leitura! Ate a proxima!

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I Colóquio de Matemática da Região Nordeste

março 4, 2011 por matheuscmss

Para os interessados, os slides da minha palestra (sobre superfícies quadriculadas) no I Colóquio de Matemática da Região Nordeste estão disponíveis aqui.

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Sur le cocycle de Kontsevich-Zorich au-dessus de deux origamis spéciaux (slides de uma palestra em Orsay)

maio 5, 2009 por matheuscmss

Ola! Ontem eu coloquei no blog em ingles um pequeno resumo e os slides (em ingles) de uma palestra proferida por mim em Orsay (30 de Abril).

Por enquanto e so! Ate breve!

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Presidente Lula visita o IMPA

maio 5, 2009 por matheuscmss

No dia 15 de Abril (duas semanas atras), o presidente do Brasil Luis Inacio “Lula” da Silva visitou o IMPA – Instituto de Matematica Pura e Aplicada – para discutir alguns aspectos do ensino e pesquisa matematicas no Brasil. E interessante notar que esta e a primeira vez que o presidente da Republica vista o IMPA. O leitor pode conferir algumas fotos do evento aqui.

Como brasileiro e ex-aluno do IMPA (onde obtive meu titulo de doutor), fico contente com a iniciativa do governo Brasileiro de dar a merecida atencao e suporte as ciencias basicas, especialmente a Matematica (apesar da atual politica ainda possuir diversos pontos fracas na sua implementacao: ma distribuicao de concursos publicos nas univerdades, etc.). Em todo caso, eu apreciei bastante as declaracoes do presidente Lula (as quais dispensam comentarios) enquanto fiquei bem chateado com as declaracoes demagogicas do governador do Rio (Sergio Cabral) o qual disse: “… O Impa já organizava uma olimpíada voltada para escolas particulares e o que faz o presidente? Pega o Impa que é reconhecido no mundo inteiro e tira o Impa de um pedestal acadêmico e traz ele para a vida como ela é, para o povo brasileiro, realizando a olimpíada da matemática…” Voce pode encontrar um resumo das declaracoes de Lula e Cabral aqui.

Para finalizar, se o leitor me permitir, farei alguns comentarios sobre as absurdas frases de Cabral:

  • sobre o IMPA organizar Olimpiadas voltadas para as escolas particulares: primeiramente, o objetivo central do IMPA e a pesquisa matematica em alto nivel e a formacao de doutores em Matematica; logicamente, o IMPA apoia outras atividades matematicas tais como as Olimpiadas de Matematica (cedendo espaco fisico para o treinamento dos candidatos, etc.), mas e obvio que este nao e sua tarefa principal; alem disso, a Olimpiada de Matematica apoiada pelo IMPA (OBM – Olimpiada Brasileira de Matematica) sempre foi completamente aberta: todos tem o direito de se inscrever e participar das competicoes classificatorias; porem, o fato da maioria dos estudantes “bem-sucedidos”(ie, aqueles que conseguiram fazer todo o caminho ate ganhar medalhas na IMO – International Math. Olympiad) serem oriundos de escolas particulares nao tem nenhuma relacao com a afirmacao de Cabral que a OBM e “voltada” para escolas particulares! Isto tem que ver com o puro e simples fato das escolas publicas brasileiras serem bem fracas! (alias, um dos problemas que os nossos governantes ja deveriam estar atentos desde ontem)
  • sobre as frases envolvendo as palavras “pedestal academico” and “vida como ela e”: esta e uma repeticao (mediocre) da classica comparacao entre Matematica com uma “torre de marfim” – a imagem de uma ciencia austera onde os cientistas sao voltados para eles mesmos sem possuir nenhum compromisso com a sociedade (e toda essa baboseira – com o perdao da palavra), etc., de modo que essas frases nao merecem mais explicacoes.

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O teorema de Ahlfors e Bers

março 6, 2009 por matheuscmss

Continuando a série de discussões “nostalgicas” (vide este post aqui) sobre temas interessantes vistos durante meu mestrado e doutorado no IMPA, falaremos hoje acerca da prova do teorema de Alhfors e Bers (também conhecido como a versão mensuravel do teorema da aplicação conforme de Riemann). A escolha deste topico tem duas razões:

  • este resultado é a pedra angular da chamada teoria de Teichmüller (a qual conta com inumeras aplicações em Analise, Geometria e Dinâmica Complexa);
  • a prova deste resultado fornecida abaixo (baseada no excelente livro “Teichmüller Theory, vol.1” de John Hubbard) mostra dois principios matematicos extremamente importantes: a técnica de complexificação de um problema envolvendo objetos analiticos reais e a redução de EDPs particulares em EDOs.

De fato, até pouco tempo atras, a unica prova que eu conhecia do teorema de Alhfors e Bers era a demonstração original (exposta no livro “Lectures on Quasiconformal Mappings” de L. Alhfors) baseada em uma analise refinada de uma EDP conhecida como “equação de Beltrami”. Enquanto que a prova original fornece mais informações ao fim do argumento, eu acredito que um resultado desse calibre deveria ter uma demonstração mais simples (mesmo sacrificando os fatos extras) para que possamos apreciar melhor o seu conteudo. Felizmente, por acaso, eu cruzei com o livro de John Hubbard onde uma prova simples é oferecida. Logicamente, os fatos técnicos obtidos por L. Ahlfors no curso de sua exposição certamente possuem varias aplicações (e por isso ela deve ser lida ao menos uma vez), mas essa prova mais simples possui as qualidades da brevidade e elegância, além dela se apoiar sobre dois principios fundamentais em Matematica (por isso ela é bem instrutiva).

Para fechar esta introdução, deixe-me lembrar que esses dois principios indicados acima (complexificação e redução de EDPs a EDOs) são ferramente uteis em diversos ramos da Matematica: por exemplo, a técnica de complexificação foi utilizada em dinâmica para entender a familia quadratica (a qual vista do ponto de vista real apresenta um comportamento intrincado, o qual so e propriamente apos uma complexificação levando ao conjunto de Mandelbrot) e a redução de EDPs a EDOs permite encontrar os chamados “solitons” para certas EDPs oriundas da Fisica.

–Enunciado e motivação do teorema de Ahlfors e Bers–

Durante os cursos de Analise Complexa normalmente encontramos (como um dos topicos do final da disciplina) o teorema da aplicação conforme de Riemann:

Teorema da aplicação conforme de Riemann. Seja U\subset\mathbb{C} um dominio aberto simplesmente conexo, U\neq\mathbb{C}. Então, existe uma aplicação biholomorfa f:U\to\mathbb{D} entre U e o disco unitario \mathbb{D}. Mais ainda, a aplicação f é “unica” no seguinte sentido: qualquer outro biholomorfismo g:U\to\mathbb{D} pode ser obtido de f por composição com uma transformação de Möbius h:\mathbb{D}\to\mathbb{D}, i.e., g=h\circ f.

Em outras palavras, este teorema de Riemann diz que o disco unitario \mathbb{D} é “moralmente” o unico dominio simplesmente conexo propriamente contido em \mathbb{C} (a menos de biholomorfismos).

Algum tempo mais tarde, vemos nos cursos de superficies de Riemann a seguinte “continuação” (altamente não trivial) do teorema da aplicação de Riemann:

Teorema de Uniformização de Riemann. Toda superficie de Riemann M simplesmente conexa é biholomorfa a um (e somente um) dos seguintes modelos:

  • a esfera de Riemann \overline{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup\{\infty\},
  • o plano complexo \mathbb{C} ou
  • o disco unitario \mathbb{D}.

Vagamente falando, uma prova (analitica) do teorema de uniformização (devida a Koebe e Poincaré) consiste em mostrar que uma superficie de Riemann M simplesmente conexa e biholomorficamente distinta de \overline{\mathbb{C}} e \mathbb{C} admite uma aplicação holomorfa injetiva M\to \mathbb{C} (i.e., M pode ser mergulhada dentro do plano complexo). Basicamente isso envolve argumentos intricados de analise de EDPs (em particular, o estudo de funções harmonicas, estimativas de Harnack, o principio de Perron para sub e super soluções, etc.).  Em seguida, o teorema de uniformização é obtido do teorema da aplicação conforme: com efeito, a imagem de M dentro de \mathbb{C} é um dominio aberto simplesmente conexo diferente de todo o plano, de modo que ele é biholomorfo ao disco unitario. Mais recentemente, uma prova utilizando o famoso fluxo de Ricci foi encontrada por X. Chen, P. Li e G. Tian.

O teorema de uniformização permite concluir que toda superficie de Riemann é o quociente de um dos três modelos acima por um subgrupo discreto de automorfismos. Entretanto, isso esta longe de responder todas as perguntas sobre todas as possiveis superficies de Riemann (a menos de isomorfismos). Com o intuito de estudar as diferentes estruturas superficies de Riemann dentro de uma mesma superficie topologica (i.e., o estudo do espaço de superficies de Riemann modulo biholormofismos [dito espaço de moduli]) naturalmente somos conduzidos ao conceito de aplicações quase-conformes:

Definição. Um homeomorfismo f:M\to N entre duas superficies de Riemann M e N é dito quase-conforme se ele possui derivadas parciais (no sentido das distribuições) em L^2 e, para algum 0\leq k< 1,  a seguinte relação é satisfeita em quase todo ponto:

\left|\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\right|\leq k \left|\frac{\partial f}{\partial z}\right|.

Neste caso, dizemos que f é K-quase-conforme com constante K=(1+k)/(1-k). A menor constante K para a qual a desigualdade acima vale é dita a constante de quasiconformalidade de f e denotada por K(f).

Observação. Pode-se ver que a relação acima mostra que a derivada de f envia elipses de excentricidade \leq K(f) em circulos. Em particular, quando a constante de quasiconformalidade K(f) é 1, vemos que a derivada de f envia circulos em circulos, ou seja , Df é uma aplicação conforme. Isso justifica a denominação “constante de quasiconformalidade” para K(f): quanto proximo de 1 for K(f), mais proximo de ser conforme (holomorfo) f sera.

Nesse ponto, estamos aptos para enunciar o teorema de Alhfors e Bers:

Teorema de Alhfors e Bers. Dados U\subset\mathbb{C} e \mu\in L^\infty (U) com \|\mu\|_{\infty}<1, podemos encontrar um homeomorfismo quase-conforme f:U\to\mathbb{C} tal que a equação de Beltrami é satisfeita:

\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\mu\frac{\partial f}{\partial z}.

Mais ainda, f é unica modulo biholomorfismos: dada qualquer outra solução g:U\to\mathbb{C} da equação acima, existe \phi:f(U)\to\mathbb{C} função holomorfa injetiva tal que g=\phi\circ f.

Antes de entrar na prova deste resultado, vamos comentar sobre a importância deste teorema: como ja antecipamos, este teorema é a peça fundamental quando tentamos comparar duas superficies de Riemann distintas. De fato, logicamente que dada uma aplicação entre duas superficies de Riemann, temos \mu da equação de Beltrami. O teorema de Alhfors e Bers garante (apos algum esforço) que a “reciproca” é verdadeira: dado \mu em uma superficie de Riemann X, podemos “fabricar” uma outra superficie X_{\mu} e uma aplicação quaseconforme f_\mu:X\to X_\mu de maneira que a equação de Beltrami é satisfeita (e, mais ainda, f_\mu é unica a menos de composições com biholomorfismos). Dito de outro modo, este teorema fornece uma relação estreita entre superficies de Riemann e coeficientes de Beltrami \mu.

Agora, vamos passar para a prova deste teorema.

Prova do teorema de Ahlfors-Bers. A idéia é bem simples: ao invés de encarar uma EDP (a equação de Beltrami), veremos que ela pode ser transformada numa EDO (o qual é um objeto mais tratavel), ao menos no caso em que \mu é uma função analitica real. Mais precisamente, olhando para a variavel complexa z=(x,y), ao invés de olhar somente para x,y reais, pensaremos que x,y são também variaveis complexas (i.e., trocamos \mathbb{C} por \mathbb{C}^2). Sendo \mu analitica real, podemos usar sua expressão em série de potências para ver que \mu(x,y) fica bem definido mesmo quando x,y são complexos, de modo que a EDP inicial (a equação de Beltrami):

\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\mu\frac{\partial f}{\partial z}

se torna a seguinte EDO em um aberto W de \mathbb{C}^2:

(1) (1-\mu(x,y))\frac{\partial f}{\partial x}+i(1+\mu(x,y))\frac{\partial f}{\partial y}=0.

O “truque” (devido a Gauss) é observar que toda solução da EDO acima é constante nas curvas dadas pela EDO:

(2) \frac{\partial y}{\partial x}=i\frac{1+\mu}{1-\mu}.

Dito de outro modo, a EDO acima da as curvas de nivel de f verificando a equação de Beltrami. Para fazer uma escolha de f (dentre as varias possiveis), iremos fixar a transversal \{x=x_0\} com respeito a soluções de (2) (por que essa linha complexa é realmente transversal? [exercicio]) e impor que f(x_0,y)=y (fazendo a extensão de f colocando o valor aquedado nas curvas integrais de (2) de acordo com o valor na transversal). Com isso, obtemos uma solução da equação de Beltrami tal que

\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=1

e, a fortiori, pela equação (1),

\frac{\partial f}{\partial x} = -i\frac{1+\mu(x_0,y_0)}{1-\mu(x_0,y_0)}.

Note que a expressão acima implica que \partial f/\partial x não é um numero real (porque sua parte imaginaria é -(1+|z|^2)/(|1-z|^2)\neq 0), de maneira que o teorema da função implicita diz que f define um difeomorfismo local entre W\cap \mathbb{R}^2 e \mathbb{C} perto de (x_0,y_0). Mais ainda, dada qualquer outra solução da equação de Beltrami g, escrevendo g(x_0,y):=h(y), segue que g=h\circ f. Isto prova o teorema de Alhfors e Bers no caso em que \mu é real analitica.

No caso geral, a prova é completada por um argumento padrão de regularização. Como o problema é local, suporemos que \mu\in L^\infty(\mathbb{D}) vive no disco unitario \mathbb{D}. Escolha \eta_\epsilon a sua familia (analitica real) preferida de aproximações da identidade (digamos \eta_\epsilon(z) = \frac{1}{\pi\epsilon^2} e^{-|z|^2/\epsilon^2}) e considere \mu_\epsilon = \eta_\epsilon*\mu. Note que \|\mu_\epsilon\|_{\infty}\leq \|\mu\|_{\infty}:=k<1 e \mu_\epsilon converge em L^1 para \mu. Por outro lado, as soluções f_\epsilon da equação de Beltrami

(3) \frac{\partial f_\epsilon}{\partial \overline{z}}=\mu_\epsilon\frac{\partial f}{\partial z}

fornecem aplicações injetivas f_\epsilon:\mathbb{D}\to\mathbb{C}. Denote por \mathbb{D}_\epsilon:= f_\epsilon(\mathbb{D}) a imagem de \mathbb{D} por f_\epsilon. Pelo teorema de uniformização (ou pelo teorema da aplicação conforme de Riemann ja que \mathbb{D}_\epsilon é um dominio simplesmente conexo distinto de \mathbb{C}), podemos compor f_\epsilon com uma aplicação conforme g_\epsilon: \mathbb{D}_\epsilon\to \mathbb{D} caso necessario e supor que a solução da equação de Beltrami  (3) verifica também f_\epsilon(0)=0.

Neste ponto, temos uma familia f_\epsilon de aplicações K-quase-conformes com K=(1+k)/(1-k) tais que f_\epsilon(0)=0.  Por um teorema de compacidade bem-conhecido (veja o corollary 4.4.3 do livro de J. Hubbard), podemos extrair uma subsequência convergente f_{\epsilon_n} (uniformemente em compactos) cujo limite é uma aplicação K-quase-conforme f. Mais ainda, as derivadas distribucionais de f_{\epsilon_n} convergem em L^2 para as derivadas de f. Colocando essa informação na equação (3) e passando ao limite, vemos que f satisfaz a equação:

\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\mu\frac{\partial f}{\partial z}.

Aqui estamos utilizando o seguinte fato elementar (veja o lemma 4.6.3 do livro de J. Hubbard) com u_n=\frac{\partial f_{\epsilon_n}}{\partial \overline{z}}, u=\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}, v_n=\frac{\partial f_{\epsilon_n}}{\partial z}, v=\frac{\partial f}{\partial z} e \mu_n=\mu_{\epsilon_n}:

Lema. Sejam u_n e v_n duas sequências em L^2_{loc} convergindo fracamente para u e v, e \mu_n uma sequência limitada em L^\infty convergindo em L^1 para \mu. Então, u_n = \mu_n v_n para todo n\in\mathbb{N} implica u=\mu v.

Com isso, a prova do teorema de Alhfors e Bers fica terminada. \square

Para finalizar este post, observaremos que este teorema pode ser generalizado para dimensões maiores (teorema de Newlander-Nirenberg). Entretanto, não o farei aqui pelo simples motivo de que a utilidade dessa generalização não é tão poderosa quanto o caso de dimensão 1 (complexa): com efeito, existe uma questão de integrabilidade a qual é automatica em dimensão 1 mas não-trivial em dimensão superior.

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A desigualdade e a conjectura de Bieberbach

outubro 26, 2008 por matheuscmss

Durante meu curso de Analise Complexa no mestrado do IMPA (com o saudoso professor Carlos Isnard), um topico que sempre me fascinou foi a teoria de funções univalentes (e em especial o belissimo teorema de unifromização de Riemann). No post de hoje, eu pretendo falar de um topico não mencionado durante o curso do prof. Isnard (por falta de tempo e em detrimento do teorema de uniformização), a saber, a desigualdade de Bieberbach e o teorema 1/4 de Koebe.

–A desigualdade de Bieberbach–

Teorema (Bieberbach). Seja \psi:\mathbb{D}\to U um biholomorfismo entre o disco unitario \mathbb{D} e um dominio aberto U\subset\mathbb{C}. Escreva a serie de Taylor de \psi como

\psi(z)=a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n z^n.

Então, |a_2|\leq 2|a_1|. Mais ainda, a igualdade ocorre se e somente se \mathbb{C}-U é uma semi-reta fechada apontando para a_0.

Observação Historica. Motivado por este resultado, Bieberbach conjecturou que |a_n|\leq n|a_1| para todo n\in\mathbb{N}. Note que a igualdade nessa conjectura (e a fortiori no teorema) é atingida por

\psi(z) = z+2z^2+3z^3+...=z/(1-z)^2

onde \psi:\mathbb{D}\to\mathbb{C}-[1/4,\infty). Atualmente, esta conjectura é um teorema devido ao (dificil) trabalho de Louis de Branges (apos os esforços de diversos matematicos dentre eles C. Löwner o qual criou a chamada equação de Löwner, uma ferramenta que veio a ser decisiva em um ramo da probabilidade chamado teoria da percolação, para mostrar que |a_3|\leq 3 |a_1|). O trabalho de de Branges utiliza a teoria de Hilbert de funções holomorfas (além da equação de Löwner).

A prova do teorema de Bieberbach é bem simples uma vez que saibamos a seguinte estimativa:

Lema 1 (estimativa de area de Gronwall). Seja \phi:\mathbb{C}-\overline{\mathbb{D}}\to \mathbb{C}-K um biholomorfismo entre o complementar do disco unitario e o complementar do compacto conexo K. Assuma que \phi tem série de Laurent

\phi(w)=b_1w+b_0+b_{-1}w^{-1}+b_{-2}w^{-2}+...

Então, a area de K é dada pela formula:

area(K)=\pi\sum\limits_{n=-\infty}^{1}n|b_n|^2.

Uma consequência direta interessante deste lema é:

Corolario 1 (Gronwall). Nas condições do lema 1, temos |b_1|\geq |b_{-1}|. Mais ainda, a igualdade ocorre se e so se K é um segmento de reta.

Prova do corolario 1. Como area(K)\geq 0, o lema 1 implica que |b_1|^2\geq \sum\limits_{m=1}^{\infty}m|b_{-m}|^2. Em particular, |b_1|\geq |b_{-1}|. Por outro lado, a igualdade ocorre se e so se os coeficientes restantes da serie de Laurent são todos nulos:

b_{-2}=b_{-3}=...=0.

Fazendo uma rotação na coordenada w e uma mudança linear de coordenadas em \eta=\phi(w) (se necessario), podemos reduzir a série de Laurent de \phi a \phi(w)=w+w^{-1}, uma transformação levando \mathbb{C}-\overline{\mathbb{D}} no segmento de reta \left[-2,2\right]. \square

Por enquanto, vamos assumir o lema 1 e provar o teorema de Bieberbach:

Prova do teorema de Bieberbach. A menos de trocar \psi(z) por \frac{\psi(z)-\psi(0)}{\psi'(0)}, podemos assumir que \psi(0)=0 e \psi'(0)=1 (i.e., a_0=0 e a_1=1). Agora fazemos z=1/w^2 e \zeta=\psi(z)=1/\eta^2, de maneira que cada ponto z\neq 0 (resp. \zeta\neq 0) corresponde a dois pontos \pm w (resp. \pm \eta). Calculando a série de Laurent de \psi em termos de w e \eta, temos

w\mapsto \eta=\frac{1}{\sqrt{\psi(1/w^2)}} = w-\frac{a_2}{2w} + \textrm{ termos envolvendo } \frac{1}{w^3}, \frac{1}{w^5}, ...

Esta aplicação leva \mathbb{C}-\overline{\mathbb{D}} biholomorficamente numa vizinhaça simétrica N=-N do infinito. Pelo corolario 1, vemos que 1\geq \frac{|a_2|}{2}, i.e., |a_2|\leq 2=2|a_1|). Além disso, o corolario 1 diz que a igualdade ocorre se e so se N é o complementar de um segmento de reta (o qual deve estar centrado na origem por simetria de N). Expressando isso em termos das coordenadas z e \zeta=\psi(z) iniciais, temos que U é o complementar de uma semi-reta fechada apontando para a_0=0. \square

–Prova do lema 1 (estimativa de area de Gronwall)–

A idéia aqui é bem simples: para cada r>1, a imagem do circulo de raio r por \phi sera uma curva em \mathbb{C} limitando uma região de area A(r) contendo K de modo que area(K)=\lim\limits_{r\to 1^+} A(r). Portanto, nosso trabalho consiste em calcular A(r). Isto pode ser feito utilizando a formula de Green:

A(r) = \int x \, dy = -\int y \, dx = \frac{1}{2i}\int \overline{z} \, dz

onde \phi(r e^{i\theta})=z=x+iy e a integração é feita na imagem por \phi de |w|=r. Substituindo a série de Laurent z=\sum\limits_{n=-\infty}^{1}b_nw^n com w=r e^{i\theta} na formula acima, obtemos

A(r) = \frac{1}{2}\sum\limits_{m,n=-\infty}^{1}nb_n\overline{b_m}r^{n+m}\int e^{i(n-m)\theta}d\theta.

Como a integral acima é não-nula (e igual a 2\pi) se e so se n=m, segue que

A(r) = \pi\sum\limits_{n=-\infty}^{1}n|b_n|^2 r^{2n}.

Fazendo r\to 1^+, o lema 1 fica provado. \square

–O teorema 1/4 de Koebe–

Para encerrar este post, daremos a prova do importante (em dinamica complexa p. ex.) teorema 1/4 de Koebe como uma aplicação do teorema de Bieberbach.

Teorema (1/4 de Koebe). Seja f(z) = a_0+a_1z+a_2 z^2+... um biholomorfismo entre o disco unitario \mathbb{D} e um aberto U\subset\mathbb{C}. Então, a distância r=d(f(0),\partial U) entre a_0=f(0) e o bordo \partial U de U satisfaz a estimativa

|a_1|/4\leq r\leq |a_1|.

Além disso, a igualdade 4r=|a_1| ocorre se e so se \mathbb{C}-U é uma semi-reta apontando para a_0=f(0) e a igualdade r=|a_1| ocorre se e so se U é um disco centrado em a_0.

Um corolario imediato muito interessante (para a dinâmica complexa) é o seguinte fato:

Corolario 2. Dada g:\mathbb{D}\to \mathbb{C} uma função holomorfa univalente (i.e., injetiva) com g(0)=0 e g'(0)=1, então o aberto U=g(\mathbb{D}) contém o disco \mathbb{D}_{1/4} de raio 1/4 centrado na origem.

Prova do teorema 1/4 de Koebe. Trocando f por (f(z)-f(0))/f'(0), podemos supor que a_0=0 e a_1=1. Fixe z_0\in\partial U um ponto do bordo realizando a distância r entre \partial U e a origem 0=f(0). Nosso objetivo é mostrar que

1/4\leq r\leq 1.

Compondo f com a transformação de Möbius z\mapsto z/(1-z z_0^{-1}) (enviando z_0 para o infinito), obtemos uma transformação holomorfa univalente g em \mathbb{D} da forma

z\mapsto g(z):=f(z)/(1-f(z)z_0^{-1}) = z+(a_2+z_0^{-1})z^2+...

Pelo teorema de Bieberbach (aplicado para f e g), |a_2|\leq 2 e |a_2+z_0^{-1}|\leq 2. Logo, r^{-1}=|z_0^{-1}|\leq 4, i.e., 1/4\leq r. Mais ainda, a igualdade r=1/4 ocorre se e so se |a_2|=2 e 1/z_0=-2a_2. Pelo teorema de Bieberbach, |a_2|=2 implica que U é o complementar de uma semi-reta fechada apontando para 0=f(0). Com isto mostramos a primeira parte do teorema de Koebe.

A segunda parte deste teorema é uma consequência do teorema de Schwarz: supondo que r\geq 1, segue que a transformação inversa f^{-1} envia \mathbb{D} dentro de si mesmo, f^{-1}(0)=0 e sua derivada na origem é 1. Por Schwarz, f^{-1} é a identidade (donde r=1 e U é o disco unitario centrado na origem). \square

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A solução de L. Euler para o problema de Basel

outubro 7, 2008 por matheuscmss

Olhando hoje os topicos matematicos em portugues mais procurados (segundo a lista na minha conta para este blog), vi que alguém deseja ver a demonstração da formula classica de Euler para a soma dos inversos dos quadrados:

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Logicamente, esta bela formula possui varias demonstrações e muitas deles estão expostas em inglês na Wikipedia (alem desta referência aqui a qual contém 14 demonstrações dessa formula).

O objetivo deste post sera expor em portugues a prova deste belo resultado. No que segue, irei me basear neste artigo da Wikipedia em inglês sobre o problema de Basel (para a solução de Euler) e na referência aqui com 14 demonstrações (da qual falarei apenas da primeira prova).

–A idéia de Euler–

Como podemos esperar de L. Euler, a sua idéia é muito esperta: ele comeca com o fato elementar de que todo polinômio P pode ser fatorado com polinômios lineares da forma (x-\alpha) sempre que \alpha é uma raiz de P e assume que o mesmo pode ser feito com séries infinitas (de fato, Euler anunciou esta solução em 1735, mas a justificativa rigorosa so foi aparecer em 1741 precisamente por causa desse ‘propriedade’ para séries infinitas que ele assume).

Mais precisamente, Euler olha para a expansão em série do seno:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!}-...

Dividindo por x temos

(1) \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-....

Por outro lado, sabemos que os zeros de \frac{\sin x}{x} ocorrem exatamente nos pontos x=\pm n\pi com n\in\mathbb{N}-\{0\}. Em particular, supondo que podemos fatorar esta série em fatores lineares (em analogia com o caso de polinômios) obtemos

\frac{\sin x}{x} = \prod\limits_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n\pi})(1+\frac{x}{n\pi}) = \prod\limits_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}).

Observação 1. Normalmente, quando fatoramos um polinômio, escrevemos ele como produto de polinômios lineares da forma (x-\alpha). No entanto, na expressão acima estamos trocando (x-\alpha) por (1-\frac{x}{\alpha})=(\alpha-x)/\alpha na esperança de obter uma expressão que resulte em um produtorio convergente (com efeito, a analise de convergencia de um produtorio é feita olhando a distância do termo geral para 1).

Agora, separando o ‘coeficiente’ de x^2 no produtorio acima, obtemos

-\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi^2}\right).

Entretanto, o coeficiente de x^2 na expansão (1) em série de Taylor de \frac{\sin x}{x} é -1/3!=-1/6. Logo, temos a identidade

-\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi^2}\right)=-\frac{1}{6},

ou seja,

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.

Observação 2. Obviamente, como ja advertimos anteriormente, esta derivação não é rigorosa.

–Uma prova rigorosa da identidade \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}–

Veremos agora uma derivação rigorosa da solução de Euler do problema de Basel (retirada de um artigo expositorio de Apostol). Começamos por observar que

\frac{1}{n^2} = \int_0^1\int_0^1 x^{n-1} y^{n-1} dx \, dy.

Pelo teorema da convergência monotona, segue que

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \int_0^1\int_0^1\sum\limits_{n=1}^{\infty}(xy)^{n-1} dx\, dy = \int_0^1\int_0^1 \frac{dx\,dy}{1-xy}.

Fazendo a mudança de variaveis (u-v,u+v)=(x,y), obtemos

(2) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} =2\int\int_Q\frac{du\,dv}{1-u^2+v^2}

onde Q é o quadrado de vertices (0,0), (1/2,1/2), (1/2,-1/2) e (1,0). Usando as simetrias desse quadrado, vemos que

\int\int_Q\frac{du\,dv}{1-u^2+v^2} = 2\int_0^{1/2}\int_0^u \frac{dv\,du}{1-u^2+v^2} + 2\int_{1/2}^{1}\int_0^{1-u} \frac{dv\,du}{1-u^2+v^2}.

Integrando, temos

(3) \int\int_Q\frac{du\,dv}{1-u^2+v^2} = 2\int_0^{1/2}\frac{\tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right)}{\sqrt{1-u^2}}du + 2\int_{1/2}^{1}\frac{\tan^{-1}\left(\frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}}\right)}{\sqrt{1-u^2}}du.

Para a primeira integral usamos que \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right) = \arcsin u, donde

(4) \int_0^{1/2}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right)du=\int_0^{1/2}\frac{\arcsin u}{\sqrt{1-u^2}}du = \frac{1}{2}(\arcsin u)^2|_{u=0}^{u=1/2} = \frac{\pi^2}{72}.

Ja para a segunda integral, fazemos a mudança \theta=\arctan\left(\frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}}\right), segue que (\tan\theta)^2=(1-u)/(1+u) e (\sec\theta)^2 = 2/(1+u), ou seja, u=2(\cos\theta)^2-1=\cos(2\theta) e, a fortiori, \theta=\frac{1}{2}\cos^{-1} u = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \sin^{-1} u. Portanto,

(5) \int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{\tan^{-1}\left(\frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}}\right)du}{\sqrt{1-u^2}} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \arcsin u\right)du}{\sqrt{1-u^2}} =\left(\frac{\pi\sin^{-1} u}{4}-\frac{(\sin^{-1} u)^2}{4} \right)|_{u=\frac{1}{2}}^{u=1}= \frac{\pi^2}{36}.

Substituindo (4) e (5) em (3), segue que

\int\int_Q\frac{du\,dv}{1-u^2+v^2}=2\frac{\pi^2}{72}+2\frac{\pi^2}{36} = \frac{\pi^2}{12}.

Colocando essa informação em (2), concluimos que \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

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”O pensamento cientifico é a herança comum de toda a humanidade”, Abdus Salam

outubro 4, 2008 por matheuscmss

Normalmente eu evito discussões politicas em meus blogs porque basicamente dedico eles somente a Matematica. Entretanto, como eu ja escrevi no blog da minha esposa, resolvi abrir uma exceção pelo seguinte motivo: dois amigos e matematicos Iranianos foram impedidos de entrar na Alemanha e Franca por razoes arbitrarias (para ver minhas duas justificativas para a denominação ‘arbitraria’, veja o post em portugues ou em ingles).

Bom, todos aqueles que desejam apoiar a causa, por favor juntem-se a nos no seguinte blog (fundado pelo Ali e Hossein):

http://iranianmath.blogspot.com/

Me despeço aqui! Ate mais!

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Uma superficie de Veech de genero 4 com espectro de Kontsevich-Zorich trivial

outubro 2, 2008 por matheuscmss

Oi! Estou passando para dizer duas coisas:

  • apesar de ja estar um bom tempo sem postar nada, eu não abandonei este blog: de fato, eu tenho 3 posts (os quais ainda estou escrevendo) que estão atrasados porque os assuntos tratados neles serão abordados em mini-cursos a serem dados em breve; como eu pretendo assistir estes cursos, acho melhor ‘atrasar’ um pouco a publicação dos posts para com isso ganhar mais clareza na hora de expor os resultados;
  • nessa semana eu postei no arXiv um paper junto com o Giovanni Forni (e fiz uma palestra na Universite Paris 13 sobre esse assunto, Villetaneuse) onde nos exibimos um novo exemplo de superficie de Riemann (de genero 4) tal que o cociclo de Kontsevich-Zorich sobre esta orbita é isométrico; quem estiver interessado em ver uma descrição geral com as motivações e um pouco mais de detalhes pode ver o meu post no meu outro blog em ingles.

Bem, sem mais para o momento, fico por aqui! Até ja!

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Algumas ideias da prova do teorema de Kaloshin e Rodnianski

agosto 7, 2008 por matheuscmss

Lembramos que o teorema de Kaloshin e Rodnianski é:

Teorema. Dois elementos genéricos (no sentido da medida de Haar) A,B\in SO(3) são fracamente Diofantinos no seguinte sentido: existe uma constante D=D(A,B)>0 tal que

\|W_n(A,B)-E\|\geq D^{-n^2}

para toda W_n(A,B) palavra de tamanho n nas letras A,B.

Conforme adiantamos no post anterior, vamos utilizar a seguinte notação: dados A,B\in SO(3), denotamos por \alpha,\beta os ângulos de rotação de A,B e \gamma o ângulo entre os eixos de rotação v_A,v_B de A,B. Sem perda de generalidade, iremos assumir que A esta normalizada de maneira que v_A é o eixo OX em \mathbb{R}^3. No mais, denotaremos as palavras W_n(A,B) por W_n(\alpha,\beta,\gamma). Para trabalhar melhor com as palavras de um dado tamanho, introduzimos multi-indices \mathcal{I}_m=(s_1,r_1,\dots,s_m,r_m) onde s_1 e r_m podem ser zero mas os outros 2m-2 inteiros são todos não-nulos. O tamanho |\mathcal{I}_m| do multi-indice \mathcal{I}_m é |\mathcal{I}_m|=\sum_p(|s_p|+r_p). A palavra W_{\mathcal{I}_m}(A,B) parametrizada por \mathcal{I}_m é

W_{\mathcal{I}_m}(A,B)=A^{s_1}B^{r_1}\dots A^{s_m}B^{s_m}.

Com esta notação e utilizando o fato da medida de Haar \mu\times\mu em SO(3)\times SO(3) ser equivalente a medida de Lebesgue Leb_3 no espaço de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3, vemos que o teorema de Kaloshin e Rodnianski equivale à:

Teorema. Para Leb_3 quase todo (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3, existe uma constante D=D(\alpha,\beta,\gamma)>0 tal que

\min\limits_{|\mathcal{I}_m|=n}\|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|\geq D^{-n^2} para todo n\geq 1.

Dada uma constante D>0, defina

\Phi_{\mathcal{I}_m}(D)=\{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3: \|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|\geq D^{-n^2}\}

e

\Phi_n(D)=\bigcup\limits_{|\mathcal{I}_m|=n}\Phi_{\mathcal{I}_m}(D).

Como ja antecipamos na discussão anterior, um argumento simples usando o lema de Borel-Cantelli mostra que o teorema acima é uma consequência do seguinte fato:

Teorema 1. Existe uma constante D^*>0 tal que

\sum\limits_{n=1}^{\infty}Leb_3(\Phi_n(D^*))<\infty.

No que se segue, iremos nos concentrar na prova do teorema 1. Para isso, adotaremos a seguinte estratégia:

  • a idéia basica seria utilizar a representação quarteniônica de SO(3) para escrever \|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|^2 como um polinômio trigonométrico (e usar os lemas classicos de Dani, Kleinbock e Margulis para estimar o tamanho da vizinhança dos zeros destes polinômios); entretanto, por motivos técnicos, procederemos como nos dois passos abaixo;
  • veremos que estimar Leb_3(\Phi_n(D^*)) corresponde moralmente a estudar o tamanho do conjunto dos parâmetros (\alpha,\beta,\gamma) onde a derivada \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) da palavra W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) com relação a variavel \alpha é pequena;
  • em seguida, estimamos o conjunto destes parâmetros usando a representação quarteniônica de SO(3) para estimar \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) (o que sera tecnicamente mais simples).

–Redução do teorema 1 ao estudo da derivada \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}–

Defina \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D)=\{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3: \|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq D^{-2n^2/3}\}. Para comparar as medidas de Lebesgue de \Phi_{\mathcal{I}_m}(D) e \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D), precisaremos do seguinte lema:

Lema 1. \|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq |\mathcal{I}_m|^4.

Prova. Os elementos de SO(3) podem ser escritos em representação quaterniônica como

q=\cos\theta + \sin\theta\cdot(iv_1+jv_2+kv_3)

onde \theta é o ângulo de rotação e (v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3 é o eixo de rotação. Nesta representação, temos

\begin{array}{l}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) = \\(\cos(s_1\alpha)+i\sin(s_1\alpha)) (\cos(r_1\beta)+\sin(s_1\beta)(i\cos\gamma+j\sin\gamma))\dots \\ (\cos(s_m\alpha)+i\sin(s_m\alpha)) (\cos(r_m\beta)+\sin(s_m\beta)(i\cos\gamma+j\sin\gamma))\end{array}.

Derivando duas vezes em \alpha, obtemos

\|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq \left(\sum\limits_{p=1}^m|s_p|\right)^4\leq |\mathcal{I}_m|^4.

Isto encerra a prova do lema 1. \square

Com este lema em mãos, podemos mostrar sem dificuldades o seguinte fato:

Lema 2. Dado \mathcal{I}_m um multi-indice de tamanho |\mathcal{I}_m|=n, temos

Leb_3(\Phi_{\mathcal{I}_m}(D))\leq Leb_3(\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D))+ 4n^4D^{-n^2/3}.

Prova. Dado (\alpha^*,\beta,\gamma)\notin\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D), vemos da definição de \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D) e do lema 1

\|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha^*,\beta,\gamma)\|^2\geq D^{-2n^2/3} \quad \textrm{ e } \quad \|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha^*,\beta,\gamma)\|^2\leq n^4.

Em seguida, dividimos o circulo \mathbb{T}_{\alpha} em 2D^{n^2/3}/n^4 intervalos de tamanhos iguais e denotamos por I o intervalo contendo \alpha^*. As estimativas acima e o teorema de Taylor implicam que

\|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\geq \frac{D^{-n^2/3}}{2}.

Logo, obtemos que a medida de Lebesgue do conjunto dos \alpha\in I tais que (\alpha,\beta,\gamma)\notin\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D) é 2D^{-2n^2/3}. Juntando estas estimativas sobre todos os n^4/2D^{n^2/3} intervalos I e usando o teorema de Fubini, temos a prova do lema. \square

–A derivada \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m} como um polinômio trigonométrico–

Lema 3. Cada palavra W_{\mathcal{I}_m} de tamanho n=|\mathcal{I}_m| esta associada a um polinômio P_{\mathcal{I}_m}(x_{\alpha},y_{\alpha},x_{\beta},y_{\beta},x_{\gamma},y_{\gamma}) de grau 2n+2m com coeficientes inteiros tal que

\|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2 = P_{\mathcal{I}_m}(\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta,\cos\gamma,\sin\gamma).

Prova. Isso segue de um calculo explicito usando a representação quaterniônica para W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) (veja a prova do lema 1). \square

Como ja comentamos, a proxima etapa consiste em utilizar a informação do lema acima para estimar o tamanho do conjunto \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D). Mais precisamente, temos o seguinte teorema:

Teorema 2. Existe uma constante D^* tal que

\textrm{Leb}_3(\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D^*))\leq 5^{-n}

para todo multi-indice \mathcal{I}_m de tamanho n=|\mathcal{I}_m| suficientemente grande.

Antes de entrar nos detalhes do teorema 2, vejamos que o teorema 1 segue do teorema 2.

Prova do teorema 1 (assumindo o teorema 2). Observamos que o numero de palavras de tamanho n é 4^n. Portanto, o teorema 2 e o lema 2 dizem que

\textrm{Leb}_3(\Phi_n(D^*))\leq (4/5)^n + 4n^4(D^*)^{-n^2/3}

para todo n grande. Em particular, o resultado de somabilidade desejado segue. \square

Para encerrar o post de hoje, vamos fazer um esquema da prova do teorema 2 na proxima seção.

–Estimativas para polinômios e eliminação de variaveis–

Lembramos ao leitor do seguinte lema de estimativa de polinômios em uma variavel:

Lema 4 (Dani, Kleinbock e Margulis). Seja P(x) um polinômio real de grau \leq n e denote por \|P\|_{I}:=\max\limits_{x\in I} |P(x)|. Então, para todo I intervalo compacto e todo \varepsilon>0, temos

\textrm{Leb}_1(x\in I: |P(x)|\leq\varepsilon)\leq 2n(n+1)^{1/n}(\varepsilon/\|P\|_I)^{1/n} |I|.

A prova deste resultado usa interpolação de Lagrange ao longo de um conjunto de pontos bem-escolhidos. O leitor curioso por mais detalhes pode ver a (curta) demonstração do lemma 2 do meu post em ingles sobre o teorema de Fayad e Krikorian (cuja prova é, por sua vez, baseada nestes argumentos de Kaloshin e Rodnianski).

Logicamente, o lema 4 não pode ser aplicado diretamente ao nosso caso porque nossos polinômios P_{\mathcal{I}_m} possuem varias variaveis (as quais possuem relações entre elas). Entretanto, esta dificuldade técnica pode ser contornada através do método de eliminação de variaveis. Para explicar como este método funciona, consideramos F(x,y), G(x,y) dois polinômios em duas variaveis x,y. O estudo dos zeros comuns de F, G pode ser reduzido ao estudo dos zeros de um polinômio em uma variavel do seguinte modo: fixando x_0, sabemos dos cursos de Algebra que a existência de raizes comuns y de F(x_0,y), G(x_0,y) é completamente determinada pelo anulamento do polinômio resultante R[F,G](x_0)=0 (o qual depende apenas da variavel x). Ou seja, a questão de entender zeros comuns de polinômios com duas variaveis pode ser reduzida ao problema de entender os zeros de um polinômio de uma variavel (com grau ligeiramente maior). Logicamente que para a aplicação desta idéia no contexto do lema 4, precisamos de versões quantitativas do método de eliminação de variaveis. Felizmente, isso foi feito por Kaloshin e Rodnianski no lema 6 do artigo. Entretanto, para fazer o método funcionar no nosso caso é necessario acompanhar todas as constantes e graus dos polinômios envolvidos na eliminação, o que é um trabalho técnico que não pode ser descrito em detalhes em um post. Porém, podemos dar uma idéia geral de como o processo ocorre.

Pelo lema 3, a prova do teorema 2 fica reduzida a uma estimativa do tamanho de conjuntos da forma

\{(\alpha,\beta,\gamma):|P_{\mathcal{I}_m}(\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta,\cos\gamma, \sin\gamma)|\leq \varepsilon\}.

Com esse intuito, notamos que, fazendo x_{\theta}=\cos\theta e y_{\theta}=\sin\theta, essa tarefa essencialmente equivale a estudar o conjunto de soluções comuns para as equações polinomiais

P_{\mathcal{I}_m}(x_{\alpha},y_{\alpha},x_{\beta},y_{\beta},x_{\gamma}, y_{\gamma})-\varepsilon=0

e

x_{\alpha}^2+y_{\alpha}^2-1=0, \quad x_{\beta}^2+y_{\beta}^2-1=0, \quad x_{\gamma}^2+y_{\gamma}^2-1=0.

Em seguida, aplicamos o método de eliminação de variaveis três vezes na seguinte ordem: primeiro eliminamos a variavel y_{\alpha} através do polinômio resultando R entre P_{\mathcal{I}_m} e x_{\alpha}^2+y_{\alpha}^2-1; depois, eliminamos (de modo analogo ao anterior) y_{\beta} através da resultante R_1 entre R e x_{\beta}^2+y_{\beta}^2-1=0; finalmente, eliminamos y_{\gamma} obtendo um polinômio R_2.

Para justificar porque a eliminação fornece boas estimativas, precisamos saber
que R_2 é um polinômio não-degenerado (i.e., R_2 não é identicamente nulo). No nosso caso, o processo de eliminação nunca é degenerado porque a resultante entre P_{\mathcal{I}_m} e x^2+y^2-1 identicamente nula implicaria que a função W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) é degenerada (i.e., constante). Entretanto, desde os trabalhos de Hausdorff no paradoxo de Banach-Tarski, sabemos que elementos genéricos de SO(3) geram um grupo livre, de modo que a função W_{\mathcal{I}_m} não pode ser constante (isto pode ser visto diretamente da representação quarteniônica: veja o lemma 2 de Kaloshin e Rodnianski).

Com isso, o esquema da prova do teorema 2 esta terminado! Ate mais!

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