hanafi from north lombok

CONTOH SOAL

1.      Ruang vektor  fungsi dari θ adalah isomorfik ke ruang vektor . dalam peta ini.

Kami akan memeriksa ini dengan melalui kondisi di definisi.

Kami akan memverifikasi terlebih dahulu kondisi 1, bahwa peta adalah sebuah korespondensi antara set mendasari spasi.

Untuk menetapkan bahwa f adalah satu-ke-satu, kita harus membuktikan bahwa  hanya bila . Jika

f ( a ₁ cosθ + a ₂ sinθ) = f ( b ₁ cosθ + b ₂ sinθ) f (a ₁ + a ₂ cosθ sinθ) = f (b ₁ + b ₂ cosθ sinθ)

kemudian, dengan definisi dari f,

dari mana kita dapat menyimpulkan bahwa ₁ = b ₁ dan ₂ = b ₂ karena vektor kolom adalah sama hanya ketika mereka memiliki komponen yang sama. Kami telah membuktikan bahwa  menyiratkan bahwa , Yang menunjukkan bahwa f adalah satu-ke-satu.

Untuk memeriksa apakah f adalah ke kita harus memeriksa bahwa setiap anggota yang adalah gambar dari beberapa anggota dari domain G. Tapi itu jelas-apapun

adalah gambar di bawah f . .

Selanjutnya kita akan memeriksa kondisi (2), bahwa f mempertahankan struktur.

perhitungan ini menunjukkan bahwa menjaga f tambahan.

Sebuah perhitungan yang serupa menunjukkan bahwa f melindungi perkalian skalar.

Dengan itu, kondisi (1) dan (2) diverifikasi, jadi kita tahu bahwa f adalah isomorfisma dan kita dapat mengatakan bahwa ruang isomorfik .

2.      Biarkan V menjadi ruang  kombinasi linear dari tiga variabel x, y, dan z, di bawah Selain alami dan operasi perkalian skalar. Kemudian V isomorfis untuk , Ruang polinomial kuadratik.

Untuk acara ini kita akan menghasilkan sebuah peta isomorfisma. Ada lebih dari satu kemungkinan, misalnya, di sini adalah empat.

Peta pertama adalah korespondensi lebih alami dalam hal itu hanya membawa koefisien atas. Namun, di bawah ini kami akan memverifikasi bahwa kedua adalah isomorfisma, untuk menggarisbawahi bahwa ada isomorphisms lain selain hanya satu yang jelas (yang menunjukkan bahwa f ₁ adalah isomorfisma adalah Soal 3 ).

Untuk menunjukkan bahwa f ₂ adalah satu-ke-satu, kita akan membuktikan bahwa jika f ₂ (c ₁ x + c ₂ y + c ₃ z) = f ₂ (d ₁ x + d ₂ y + d ₃ z) maka c ₁ x + c ₂ y + c ₃ z = d ₁ x + d ₂ y + ₃ d z. Asumsi bahwa f ₂ (c ₁ x + c ₂ y + c ₃ z) = f ₂ (d ₁ x + d ₂ y + d ₃ z) memberikan, dengan definisi f _2, bahwa c ₂ + c ₃ x + c ₁ x ² = d ₂ + d ₃ x + d ₁ x ^2. polinomial sama memiliki koefisien sama, jadi c ₂ = d _2, c ₃ = d _3, dan c ₁ = d _1. Jadi f ₂ (c ₁ x + c ₂ y + c ₃ z) = f ₂ (d ₁ x + d ₂ y + ₃ z d) menunjukkan bahwa c ₁ x + c ₂ y + c ₃ z = d ₁ x + d ₂ y + d ₃ z dan karena itu f ₂ adalah satu-ke-satu.

Peta f ₂ adalah ke karena setiap anggota a, b + x + c x ² dari codomain adalah gambar dari beberapa anggota domain, yaitu itu adalah gambar c x + y a + b z. Misalnya, 2 + 3 x – 4 x ² adalah f ₂ (- 4 x + 2 y + 3 z).

Perhitungan untuk pengawetan struktur adalah seperti orang dalam contoh sebelumnya. Peta ini selain mempertahankan

dan perkalian skalar.

Jadi f ₂ adalah sebuah isomorfisma dan kita menulis . .

Filed under: Uncategorized | Leave a comment »

بسم الله الر حمن الرحيم

APROKSIMASI TERBAIK DAN KUADRAT TERKECIL

1. APROKSIMASI TERBAIK
   

    

   istilah aproksimasi sering kita dengar pada mata kuliah yang mengandung konsep ketakberhingaan. Misalnya dalam perhitungan luas suatu daerah yang dibatasi oleh sebuh kurva dan sumbu X, hanya dengan mempartisi daerah tersebut kemudian luas partisi tersebut kita lakukan aproksimasi(pendekatan) dengan luas suatu segi panjang, lalu dengan mengintegrasikan hasil aproksimasi tersebut sesuai dengan batas atas dan batas bawahnya kita sudah menemukan luas dari daerah tersebut. Jadi dapat kita artikan bahwa aproksimasi merupakan suatu proses pendekatan atau hampiran pada suatu objek tertentu untuk mengurangi suatu kesalahan.
   

    Proyeksi Ortogonal Dipandang sebagai Aproksimasi
   

   
   

   Pandang u sebagai sebuah vektor tetap yang hendak kita aproksimasikan dengan menggunakan sebuah vektor pada W. Setiap aproksimasi w semacam ini akan menghasilkan sebuah “vektor kesalahan ” (“error vector”) yang bisa kita tulis
   

   u – w
   

   u – w tidak dapat dijadikan sama dengan 0, terkecuali jika u terletak pada W. Akan tetapi, dengan memilih
   

   w = proj_w u
   

   kita dapat menjadikan panjang vektor kesalahan
   

   ||u – w|| = ||u – proj_w u|| (lihat gambar diatas)
   

   sekecil mungkin. Sehingga, kita dapat mendeskripsikan proj_wu sebagai
   “aproksimasi terbaik“ bagi u relatif terhadap vektor-vektor pada W.
   

    
    

   Teorema Aproksimasi Terbaik
   

   Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V, dan jika u adalah sebuah vektor pada V, maka proj_w u adalah aproksimasi terbaik (best approximation) bagi u pada W, dalam pengertian bahwa
   

   ||u – proj_w u|| < ||u – w||
   

   untuk setiap vektor w pada W yang bukan proj_w u.
   

 Bukti:

Untuk setiap vektor w pada W, kita dapat menuliskan

u – w = (u – proj_w u)+( proj_w u – w) (1)

Namun proj_w u – w, karena merupakan selisih dari dua buah vektor pada W, terletak pada W; dan u – proj_w u ortogonal terhadap W, sehingga kedua suku pada sisi kanan (1) saling ortogonal. Dengan demikian, melalui Teorema pythagoras (liat dibuku Howard Anton 6.2.4),

||u – w||² = ||u – proj_w u||² + ||proj_w u – w||²

Jika w ≠ proj_w u, maka suku kedua dari penjumlahan di atas akan bernilai positif, sehingga

||u – w||² > ||u – proj_w u||²

atau secara ekuivalen,

||u – w|| > ||u – proj_w u|| ▄

1. KUADRAT TERKECIL
   

   Metode Kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method, adalah slah satu metode ‘pendekatan atau aproksimasi’ yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk: (a). regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik data diskritnya (dalam pemodelan), dan (b). analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model).
   

   Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan kesalahan terdistribusi (“distributed error” approximation methods), berdsarkan karakteristik kerjanya yang melakukan pengurangan kesalahan menyeluruh (global error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole approximation interval) sesuai dengan order pendekatan yang mengikat. Metode ini berbeda dengan metode-metode asimptotis khususnya yang dikembangan melalui pendekatan deret ‘Taylor’, karena metode asimptotis memiliki karakteristik kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang mengikat.
   
   

   Pengertian Solusi Kuadrat Terkecil dari Sistem Linear
   

   Solusi kuadrat terkecil (least square solution) merupakan suatu vector x pada suatu sistem linear Ax = b yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, sedemikian hingga vector tersebut dapat meminimalkan nilai||Ax – b|| merujuk pada hasil kali dalam Euclidean pada R^m.
   

   Penyelesaian masalah solusi kuadrat terkercil dari sistem linear
   

   
   

• Secara geometric, menyelesaikan persoalan kuadrat terkecil berarti menentukan sebuah vector x pada Rⁿ, sedemikian rupa sehingga Ax merupakan vector terdekat ke b didalam W.
  
• Berdasarkan teorema aproksimasi terbaik bahwa vector terdekat dari b didalam W adalah proyeksi orthogonal b pada W. sehingga, agar sebuah vector x dapat menjadi solusi kuadrat terkecil dari Ax = b, vector ini harus memenuhi
  

   

  Ax = proy_w b (gmbr. a)
  

   

• Dari teorema proyeksi kita dapat mengetahui bahwa vektor
  

   

      B – Ax = b – proy_w
  b (gmbr.b)
  

orthogonal terhadap W, karena W merupakan ruang kolom dari A, sehingga berdasarkan teorema 6.2.6, vector b–Ax terletak pada ruang null dari A^T. akibatnya, b-Ax orthogonal ruang kolom dari A

( b – Ax ).A = 0

A^T( b – Ax ) = 0

A^T b – A^TAx = 0

A^Tb = A^TAx

Sistem persamaan terakhir inilah yang disebut sebagai sistem normal yang diasosiakan dengan Ax = b, tiap-tiap persamaan didalam sistem normal disebut persamaan normal yang diasosiakan dengan Ax = b, dan semua solusi dari sistem normal merupakan solusi kuadrat terkecil dari Ax = b

Solusi kuadrat terkecil juga akan di jelaskan oleh teorema berikut ini.

Keunikan Solusi Kuadrat Terkecil

Syarat-syarat yang menjamin suatu sistem linear memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik (melalui pemahan teorema-teorema berikut).

Solusi kuadrat terkecil dari Ax = b paling baik dihitung dengan menggunakan eliminasi Gauss atau eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan normalnya, dan proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A paling baik didapatkan dengan cara menghitung Ax, di mana x adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax= b.

Contoh mencari solusi kuadrat terkecil

Tentukan solusi kuadrat terkecil dari sistem linear Ax = b yang diberikan oleh

x₁ – x₂ = 4

3x₁ + 2x₂ = 1

-2x₁ + 4x₂ = 3

dan tentukan proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A.

Penyelesaian.

Disini

Perhatikan bahwa A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear, sehingga kita dapat mengetahui sejak awal bahwa terdapat sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik bagi sistem ini. Kita memperoleh

Sehingga sistem normal A^TAx = A^Tb dalam kasus ini adalah

Dengan menyelesaikan sistem ini kita akan memperoleh solusi kuadrat terkecil

Dari (5), proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A adalah

Definisi diatas menjelaskan bahwa proyeksi orthogonal R^m pada W adalah transformasi yang di definisikan oleh

P(x) = proy_wR^m = proy_wx

Sehingga, Dari teorema sebelumnya (rumus 3) kita dapat memperoleh matriks standar untuk proyeksi ortogonal R^m pada W adalah

Proy_wx = P(x) = A(A^T A)^-1 A^T
x

[P]= A(A^T A)^-1 A^T (4)

Dimana A di bentuk dengan menggunakan basis sebarang untuk W sebagai vektor-vektor kolomnya.

Contoh: membuktikan rumus 4

Kita tahu bahwa matriks standar untuk proyeksi orthogonal R³ pada bidang XY adalah

Untuk mengetahui bahwa matriks ini konsisten dengan rumus 4, ambillah vector-vektor satuan di sepanjang sumbu X dan sumbu Y positif sebagai sebuah basis untk bidang xy, sehingga

Yang konsisten dengan (5)

الحمد لله ربالعا لمين

Filed under: Uncategorized | Leave a comment »