rmtitis

Bukti.
Untuk sebarang n ∈ Z, ideal In berwujud In ={rn | r∈Z}. Diperhatikan sebelumnya bahwa setiap ideal I di Z dibangun oleh tepat satu elemen, yaitu jika I ideal di Z maka In = I untuk suatu n∈ Z.
Diambil sebarang bilangan prima p dan diandaikan terdapat ideal In di Z yang memenuhi Ip ⊆ In ⊆ Z. Karena p∈Ip dan Ip ⊆ In, akibatnya p∈In dan dengan demikian p= rn untuk suatu r∈Z. Karena p bilangan prima, maka akan berlaku p | r atau p | n .

i. Jika yang berlaku p | r , maka r = pm untuk suatu m∈Z sehingga diperoleh p = pmn . Karena p bukan nol, maka menggunakan sifat kanselasi diperoleh 1 = mn . Karena m, n∈ , persamaan 1= mn berlaku jika dan hanya jika m = n =1 atau m = n = −1. Jika n=1, maka In = I1 ={r1 | r∈Z} = {r| r∈Z} = Z. Jadi diperoleh In = Z untuk n =1. Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa untuk n = −1 juga berlaku In = Z.

ii. Jika yang berlaku p | n , maka n = pm untuk suatu m∈Z. Karena pm∈Ip , akibatnya n∈Ip dan dengan demikian rn∈Ip untuk setiap r∈Z. Jadi, berlaku In ⊆ Ip dan karena Ip ⊆ In maka diperoleh Ip= In.