Pink C@stle

7.1 Sifat-sifat Dasar‌

Jika G suatu grup dan a Є G , maka H= {aⁿ | n Є ℤ} adalah subgrup dari G yang dinamakan subgroup siklik G yang dibangun oleh a.

Jika diberikan grup G dan elemen a Є G maka G= {aⁿ | n Є ℤ}, a dinamakan pembangun G dan grup G = <a>
dinamakan grup siklik.

Teorema 7.1

Semua grup siklik adalah grup komutatif

Bukti:

Misal G grup siklik dan a adalah pembangun G yakni G = <a>, G= {aⁿ | n Є ℤ}

Lemma 7.1 ( Algoritma Pembagian di )

Teorema 7.2

Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik.

Bukti :

Misalkan G grup siklik dan pembangun G maka notasinya G = <a>

Ambil H sebarang subgroup dari G

Adit : H = <b>
siklik

Jika H = {e} maka H = <e> jelas by.definisi subgroup

Andaikan H = {e} maka aⁿ Є H, n Є ℤ

Ambil m Є ≧ ℕdimana m adalah bilangan asli terkecil,

Klaim b = a^m pembangun H, notasinya H = <b>

Misal, c Є H maka untuk dapat ditulis

By Lemma 7.1 maka,

Karena m bilangan asli terkecil, a^m Є H maka berdasarkan Lemma diatas 0 ≤ r < m , maka haruslah r = 0

By definisi subgroup maka b adalah pembangun H

7.2 Klasifikasi Grup Siklik

Misalkan G adalah grup siklis dengan pembangun a.

KASUS I.

G memiliki tak hingga elemen, sehingga order dari g adalah tak hingga. Klaim bahwa tidak ada dua bilangan asli k dan l sehingga memberikan elemen a^k dan a^l yang sama dari G.

Andaikan a^k = a^l dan asumsikan l > k maka dimana l – k < 0

Misalkan m adalah bilangan asli terkecil sehingga a^m = e Klaim bahwa G hanya terdiri dari elemen-elemen berikut . Misalkan aⁿ Є
G maka berdasarkan Lemma 7.1 kita dapatkan q dan r sehingga

Kemudian

Dimana 0 ≤ r < m ini berarti G hingga dan ini kontradiksi dengan asumsi untuk kasus I, akibatnya semua aⁿ berbeda untuk setiap n bilangan asli.

KASUS II.

G punya order hingga. Dalam kasus ini tidak semua bentuk pangkat positif dari pembangan G, misal a, berbeda, jadi untuk suatu k,h kita pasti mendapatkan a^k = a^h Meniru argument pada kasus 1, kita dapatkan bilangan asli terkecil m sehingga a^m = e akibatnya grup G hanya terdiri dari yang berbeda semuanya.

Definisi

Misalkan n bilangan bulat positif dan h, k sebarang bilangan bulat, sehingga h + k = nq + r untuk 0 ≤ r < n adalah JUMLAH MODULO n dari h & k.

Teorema 7.3

Himpunan {0, 1, 2, …, n-1} adalah grup siklik dari ℤ_n dengan operasi jumlah modulo.

Teorema 7.4

Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. Misalkan b Є G, dan misalkan b=a^s maka b membangun subgrup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, dimana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.

Bukti.

b membangun subgrup H. Kita akan tunjukkan bahwa jumlah elemen dari H memiliki elemen sebanyak pangkat terkecil b yang menghasilkan e. Sekarang kita punya b = a^s dan b^m = e jika dan hanya jika (a^s)^m = a^sm = e jika dan hanya jika n membagi ms. Jika d adalah bilangan yang membagi n dan s, maka pada ekspresi n = d(n/d), faktor d dari n akan membagi faktor s dari ms.

Tidak ada faktor prima dari n/d yang bisa digabungkan dengan d sehingga tetap membagi s, karena d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s. Sehingga n/d merupakan faktor dari m, jadi m terkecil yang bisa memenuhi adalah m = n/d.

Akibat 7.2    

Jika a adalah pembangun dari subgrup siklik hingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relativ prim, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.

KELOMPOK IV:

Qomaria Sinta Sari    : G1D007038

Diah Meidatuzzahra    : G1D008007

Hullaemi    : G1D008019

Indah Ika Trian Putri    : G1D009012

Dwi Made Synansari    : G1D009008

Hi sobat matematika… 🙂

Kali ini saya posting materi kuliah tentang aljabar linier. Materinya tentang aproksimasi terbaik ; kuadrat terkecil (bab 6.4, buku Anton • Rorres)

Berikut penjelasan singkat mengenai aproksimasi terbaik.

Pada materi ini yang akan ditunjukkan adalah bagaimana proyeksi ortogonal Read the rest of this entry »

Pandangan Pertama

Ini adalah waktu dalam sehari dimana aku berharap bisa tidur.

Sekolah.

Atau “neraka” tepatnya? Jika ada cara bagiku untuk menebus dosa-dosaku, ini seharusnya setimpal. Kebosanan bagiku adalah hal yang biasa; setiap hari terasa lebih monoton dari hari sebelumnya.

Aku rasa ini adalah caraku tidur – kalau tidur diibaratkan sebagai keadaan diam di tengah kegiatan aktif.

Aku memandangi retakan sepanjang plester di ujung kafetaria yang jauh, membayangkan bentuk-bentuk yang tak ada disana. Itu adalah satu-satunya cara untuk mengacuhkan suara-suara yang terdengar seperti arus sungai di kepalaku.

Beratus suara-suara yang tak kuhiraukan diluar kebosanan.

Ketika aku mendengarkan pikiran manusia, terkadang ada yang sudah kudengar dan belum. Hari ini, semua pikiran orang-orang mengenai seorang anak baru disini. Mudah menggabungkan pikiran masing-masing orang. Aku melihat wajah anak baru itu di pikiran demi pikiran dari tiap sudut. Hanya anak perempuan biasa. Kehebohan karena anak baru itu adalah hal yang sangat bisa ditebak – seperti menyodorkan benda berkilau kepada anak kecil. Setengah dari para domba – yaitu anak laki-laki sudah membayangkan diri mereka jatuh cinta pada gadis baru itu, hanya karena ia sesuatu yang baru untuk dilihat. Aku berusaha lebih keras tak menghiraukan pikiran-pikiran mereka.

Hanya 4 suara yang kuacuhkan karena alasan sopan santun, bukan karena aku benar-benar tak ingin mendengarnya: keluargaku, 2 saudara laki-lakiku dan dua saudara perempuanku, yang sudah terbiasa dengan sedikitnya privasi karena kehadiranku, sehingga mereka jarang memikirkan sesuatu. Aku memberikan privasi kepada mereka sebisaku. Aku berusaha tidak mendengar jika saja aku bisa.

Walaupun aku berusaha, tetap saja…. aku tahu.

Rosalie sedang berpikir, seperti biasa, mengenai dirinya sendiri. Dia memikirkan bayangan dirinya sendiri terpantul di cermin, dan dia sedang memuji kesempurnaan dirinya sendiri. Pikiran Rosalie seperti kolam dangkal dengan kejutan-kejutan.

Emmet sedang kesal karena ia kalah dalam pertandingan adu panco melawan Jasper semalam. Akan butuh seluruh kesabarannya untuk menahan hingga pulang sekolah untuk meminta tanding ulang. Aku tak terlalu merasa bersalah membaca pikiran Emmet, karena ia tak pernah memikirkan satu halpun yang tak akan ia katakan atau ia lakukan. Mungkin aku merasa bersalah membaca pikiran yang lain karena aku tau ada hal-hal yang mereka tak ingin aku tau. Jika pikiran Rosalie adalah kolam dangkal, maka pikiran Emmet bagaikan danau tanpa bayangan, begitu jelas.

Dan Jasper sedang…. menahan diri. Aku menghela napas.

“Edward” Alice memanggil namaku dalam kepalanya.

Terdengar sama seperti kalau namaku dipanggil keras-keras. Aku senang namaku sekarang sudah jarang dipakai – karena sangat mengganggu ketika orang-orang memikirkan Edward yang lain dan aku menoleh.

Kepalaku tak menoleh sekarang. Aku dan Alice sudah mahir dalam percakapan privat seperti ini. Jarang sekali ada yang memergoki kita. Mataku tetap tertuju pada garis-garis di plester.

“Bagaimana ia menahannya?” Tanyanya.

Aku mengernyitkan kening, hanya sedikit gerakan pada mulutku. Tak ada gerak-gerik lain yang akan membuat yang lain sadar. Aku bisa dengan mudah mengernyit diluar kebosanan.

Nada di pikiran Alice terdengar seperti alarm akan adanya bahaya sekarang, dan aku melihat di pikirannya ia sedang melihat Jasper dengan penglihatan masa depannya. Apakah akan ada bahaya? Alice mencari terus ke masa depan, melacak mengenai apa yang akan terjadi sehingga membuatku mengernyit.

Aku menoleh ke kiri perlahan, melihat batu bata di tembok, menghela napas, lalu kembali menoleh ke kanan, kembali melihat retakan-retakan di langit-langit. Hanya Alice yang tau kalau aku sedang menggelengkan kepala.

Alice menjadi tenang. Beritahu aku jika keadaan bertambah parah. Aku hanya menggerakkan mataku, ke atas menatap langit-langit, lalu kembali menatap bawah.

Terimakasih sudah melakukannya.

Aku senang aku tak perlu menjawab keras-keras. Apa yang akan kukatakan? Kehormatan bagiku menolongmu? Tak mungkin itu. Aku tak terlalu menikmati mendengar pikiran Jasper. Apakah benar-benar penting untuk bereksperimen seperti ini? Bukankah akan lebih aman mengakui kalau ia takkan pernah bisa menahan kehausan seperti kami, dan tak perlu memaksakan diri? Mengapa memancing bencana?

Sudah 2 minggu sejak perburuan terakhir kami. Jangka waktu itu tak terlalu menyulitkan. Hanya saja, membuat kami merasa kurang nyaman jika manusia berjalan terlalu dekat atau jika angin bertiup ke arah yang salah. Tapi manusia jarang berjalan terlalu dekat. Insting mereka memperingatkan mereka sesuatu yang alam sadar mereka tak sadari : Kami Berbahaya.

Jasper sangat berbahaya sekarang.

Saat ini, seorang gadis kecil berhenti di ujung meja terdekat dengan kami, berhenti mengobrol dengan temannya. Dia menyibakkan rambut cokelatnya, dan memelintirkan rambutnya dengan jari. Penghangat ruangan meniup baunya ke arah kami. Aku sudah terbiasa dengan perasaan-perasaan yang diakibatkan oleh bau itu – perasaan terbakar di tenggorokan, perut keroncongan, otot-otot yang tertarik tiba-tiba, aliran bisa yang begitu cepat di mulut…

Itu semua normal, justru biasanya mudah untuk tak dihiraukan. Tapi kini lebih sulit, perasaan-perasaan itu bertambah kuat, 2 kali lipat, karena aku membaca reaksi Jasper. Kehausan ganda, dibanding kehausanku.

Jasper sedang berusaha menghilangkan imajinasinya. Dia sedang membayangkan – dirinya sendiri bangkit dari tempat duduknya di sebelah Alice dan berdiri di samping gadis kecil itu. Ia memikirkan dirinya mencondongkan tubuhnya ke atas dan ke bawah, seolah akan membisikkan sesuatu di telinga gadis itu, dan membiarkan bibirnya menyentuh kerongkongannya. Membayangkan bagaimana rasa aliran nadi yang hangat di balik kulit gadis itu terasa di mulutnya.

Aku menendang kursinya.

Ia menatapku sejenak, lalu melihat kebawah. Aku dapat mendengar rasa malu dan rasa ingin memberontak berperang di kepalanya.

“Maaf” Gumam Jasper.

Aku mengangkat pundak.

“Kau tak akan melakukan apapun” Ujar Alice kepadanya, menenangkan rasa malu dan bersalahnya, “Aku bisa melihatnya”.

Aku menyembunyikan seringai yang akan membuat kebohongan Alice terbongkar. Kami harus bekerja sama, Alice dan aku. Tak mudah, membaca pikiran dan melihat masa depan. Kami berdua adalah orang aneh di antara sekumpulan orang yang sudah aneh. Kami melindungi rahasia masing-masing. Read the rest of this entry »

Twilight (seri novel)

hai!!!
saya lanjutin tentang twilightnya yah,,
skrng saya ksi’ klian sinopsisnya…
bagi yang belum nonton,, bisa baca diblogqu.. 😉

Twilight adalah sebuah seri novel karya Stephenie Meyer. Seri ini menggambarkan tentang tokoh utamanya, yaitu Isabella “Bella” Swan, seorang remaja yang pindah ke kota Forks, Washington yang kehidupannya berubah ketika ia bertemu dengan Edward Cullen, seorang vampir ‘vegetarian'(tidak minum darah manusia). Seluruh isi seri Twilight itu diceritakan melalui sudut pandang Bella Swan dengan pengecualian epilognya Eclipse dan novel Breaking Dawn.

Twilight terdiri dari empat novel, yaitu ;

‘Twilight‘,

‘New Moon‘,

‘Eclipse‘,

‘Breaking Dawn‘

Adapun ‘Midnight Sun‘ adalah sebuah cerita paralel dari Twilight yang diceritakan melalui sudut pandang Edward Cullen.

Jalan Cerita

Twilight

Bella Swan baru saja pindah dari Phoenix, Arizona yang mayoritas bercuaca panas ke Forks, Washington yang mayoritas cuacanya hujan untuk tinggal bersama ayahnya, Charlie, setelah ibunya, Renée, menikah dan tinggal bersama suami barunya, Phil, seorang pemain bisbol. Setelah pindah ke Forks, Bella akhirnya tertarik pada seorang pemuda misterius yang tampan, yang merupakan teman sekelasnya di pelajaran Biologi, Edward Cullen, yang ternyata merupakan seorang vampir vegetarian (vampir yang meminum darah hewan, bukan manusia). Edward mempunyai kemampuan seperti halnya vampir yang lain (kuat, cepat, apabila terkena matahari langsung maka tubuhnya berkilauan dan pada saat tertentu matanya dapat berubah warna)selain itu edward juga mempunyai sebuah bakat untuk dapat membaca pikiran orang lain.tapi dia tak mampu membaca pikiran bella. Pada awalnya, Edward berusaha menjauhi Bella karena Edward selalu merasa tergoda jika menghirup aroma darah Bella. Akan tetapi lama kelamaan akhirnya Edward dapat mengatasi masalah tersebut dan kemudian mereka pun jatuh cinta satu sama lain, yang membuat sekolah membicarakan mereka. Suatu ketika, Bella diajak untuk melihat keluarga Cullen bermain bisbol. Tanpa disangka, tiba-tiba datanglah sekelompok vampir nomaden yang terdiri dari James (vampir dengan bakat melacak), Victoria (vampir dengan insting melarikan diri yang luar biasa hebat dan merupakan pasangan dari James), serta Laurent. Begitu bertemu dengan Bella, James sudah mulai mengincar darah Bella. Semua anggota keluarga Cullen bersatu untuk menyelamatkan Bella. Bella melarikan diri ke Phoenix, Arizona bersama Alice (vampir dengan bakat melihat masa depan) dan Jasper (vampir dengan bakat mengendalikan perasaan di sekitarnya dan merupakan pasangan dari Alice). Saat kabur ke Phoenix, Bella dijebak oleh James. Untungnya Edward dan keluarganya segera menyadari hilangnya Bella dan segera bergegas untuk pergi menyelamatkan Bella. Edward tiba tepat pada waktunya dan berhasil menyelamatkan Bella, setelah itu mereka segera kembali ke Forks dan mengikuti acara prom yang diselenggrakan oleh sekolah mereka.

New Moon

Edward dan keluarganya meninggalkan Forks karena Edward percaya bahwa mereka dapat menempatkan Bella dalam bahaya.Edward memberi alasan bahwa dia tidak mencintai bella lagi dan berharap agar gadis itu melupakan cintanya pada edward. Bella jatuh dalam depresi berat, sampai akhirnya ia menemukan sahabat baru yang merupakan seorang werewolf, Jacob Black. Jacob dan werewolf lain dari sukunya harus melindungi Bella dari Victoria, vampir yang berusaha membalas dendam akibat kematian pasangannya, James, dengan berusaha membunuh Bella, yang merupakan pasangan Edward Cullen yang telah membunuh pasangannya. Akibat suatu kesalah pahaman, Edward menyangka Bella sudah meninggal karena bunuh diri(Bella terjun dari tebing untuk mencari kesenangan). Edward pun memutuskan untuk menyusul Bella(edward pernah berkata bahwa dia tak bisa hidup jika bella tak ada) dengan meminta agar dirinya dibunuh oleh keluarga Voltury yang merupakan hakim di dunia vampir, tapi kemudian dihentikan oleh Bella dan Alice yang menyusul Edward ke Voltera, Italy. Mereka dipaksa menghadap klan voltury (Aro, Marcus, Caius), Voltury marah karena Bella terlalu banyak tahu tentang kehidupan vampir sedangkan dia sendiri adalah makanan yang sangat menggoda bagi para vampir. Berkat bakat Alice yang melihat bahwa Bella akan menjadi seperti mereka di masa depan, mereka pun bisa dibebaskan. Tetapi Voltury akan secepatnya mengecek keberadaan Bella sebagai vampir, kalau tidak seluruh keluarga Cullen pun terancam dihukum.Bella (yang sejak pacaran dengan Edward berharap diubah menjadi vampir)pun menyanggupinya dengan voting meminta persetujuan dari keluarga Cullen (yang telah kembali ke Forks).

Read the rest of this entry »

New Moon Graphics

Twilight Movie Scene Clips

hi..hi
bagi yang pernah nonton twilight, pasti suka banget ama filmnya..
termasuk diriqu,,.. 🙂
pertama kali tau tentang twilight gara” baca bukunya..
saya itu paling cepet capek kalo baca buku yang tebel”,, tapi waktu disodorin buku twilight .. saya langsung mau ngebacanya ampe kelar,..
walopun ada beberapa bab yang dibacain ama sisterqu,..hehe
buah tangan Stephenie Meyer ini buat saya ketagihan..
buku keduanya juga udah saya baca
hehe,,

Twilight Movie Scene Clips
filmnya juga udh saya tonton..,,
seru b.g.t
walopun sih emang kalo sesuatu berawal dari buku terus di filmin pasti ada rasa kurangnya..
biar gitu,, saya tetep suka ama filmnya..,,
bagi yang belum nonton, tonton donk..
ato baca aja bukunya..

Twilight Movie Scene Clips Read the rest of this entry »

WELCOME!!!

Kalian tau gak software mathematic5??

Kalo belum tau atopun udah tau, tetep simak aja dah ya penjelasan saya tentang cara penggunaan dari software ini..

Gak susah kok,,

Cobain ajah.. 🙂

Disini saya bakal ngerjain soal dan jawabannya bisa kalian peroleh hanya dengan cara tekan SHIFT-ENTER aja,,

Ummmm…..

Kedengerannya gampang kan..

Emang gampang sih sebenernya,,

Lets check this out..,,

Pertama kalian buka program mathematic5.

Setelah itu, pilih file-palettes-basicinput, ntar bakal muncul kayak gini.

Munculah kotak kayak gini ntar..

Terus kita tinggal tulis aja soalnya. misalnya ada fungsi f(x) = x²-4x+3.

Kita mau mencari turunannya, pilih pada palettes yang dilingkari warna merah.

Lalu muncul gambar kayak gini, tinggal kita masukin aja soalnya.

Tekan SHIFT-ENTER maka hasilnya keluar deh..

Easy kan..

Coba lagi, sekarang pilih pada kotak palettes mengenai integral dan akar-akaran.

Terus tinggal tulis deh soalnya..

Jadinya,,,,,……

Waalllaa.. .. ..

Hasil perhitungan integral, akar, dan turunan ala mathematic5,,..

Selesai kan..,,

Mudah, cepat dan praktis… 🙂

Coba dirumah masing-masing yak…

hehehe