Bất đẳng thức - Inequality

Problem 3 (van khea)

Posted on June 6, 2010 by vanha1988

Let a funtion $f:R\longrightarrow R_0^{+}$ satisfy $f'' > 0$ and $f(0)=0$ . Prove that for all $a\leq b\leq c , a, b, c\in I$ we get:

$\displaystyle f(c)>\frac{c}{b}f(b-a)$

Filed under: Inequality Problem | 2 Comments »

Problem 2 (Van khea)

Posted on June 6, 2010 by vanha1988

Let $a, b, x, y$ are the positive numbers and satisfy the following conditions:

$1): 1\leq x\leq a , 1\leq y\leq b$

$\displaystyle 2): \frac{x}{a}\leq \frac{y}{b}$

Prove that: $(x+y)(a^x+b^y)\leq (a+b)(x^a+y^a)$

Filed under: Inequality Problem | Leave a comment »

Problem 1 (Van khea)

Posted on June 6, 2010 by vanha1988

Let a, b, x, y are the positive numbers and satisfy the following conditions:

1) $a\leq x\leq 1 , b\leq y\leq 1$

2) $\displaystyle \frac{x}{a}\geq \frac{y}{b}$

Prove that: $(x+y)(a^x+b^y)\geq (a+b)(x^a+y^b)$

Proof

It is very simple for all positive numbers $a\leq b\leq c\Longrightarrow b^{c-a}\geq a^{c-b}c^{b-a}$

so for $a\leq x\leq 1\Longrightarrow x^{1-a}\geq a^{1-x}$

$\Longrightarrow xa^x\geq ax^a\Longrightarrow xa^x+xb^y\geq ax^a+xb^y , (i)$

$b\leq y\leq 1\Longrightarrow yb^y\geq by^b\Longrightarrow yb^y+ya^x\geq by^b+ya^x , (ii)$

$(i)+(ii)\Longrightarrow (x+y)(a^x+b^y)\geq ax^a+by^b+xb^y+ya^x$

We have $\displaystyle \frac{x}{a}\geq \frac{y}{b}\Longrightarrow bx\geq ay$

$a\leq x\leq 1\Longrightarrow x^{1-a}\geq a^{1-x}\Longrightarrow x^{a-1}\leq a^{x-1}$

Filed under: Inequality Problem | Leave a comment »

Bất đẳng thức Schur

Posted on June 5, 2010 by vanha1988

Bất đẳng thức Schur cũng là một bất đẳng thức rất hay sử dụng. Có rất nhiều bài tập về bất đẳng thức trên.

Người ta thường dùng bất đẳng thước Schur theo cách việt như sau:

Cách 1: Cho các số dương $a, b, c$ và $k\in R^{+}$ bất đẳng thức luôn có:

$a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(c-a)+c^k(c-a)(c-b)\geq 0$

Cách 2: Cho các số dương $a, b, c, x, y, z$ sao cho $(a, b, c)$ và $(x, y, z)$ đều là bộ đơn điệu. Khe đó bất đẳng thức sau luôn thoả mãn:

$x(a-b)(a-c)+y(b-a)(b-c)+z(c-a)(c-b)\geq 0$

Cách 3: Cho các số dương $a\geq b\geq c$ và với $x\leq y\leq z$ hoặc $x\geq y\geq z , x, y, z\in I$ . Lấy $k\in Z^{+}$ và lấy $f:R\longrightarrow R_{0}^{+}$ là hàm lõm $f''>0$ . Khi đó bất đẳng thức Schur luôn thoả mãn:

$(a-b)^{k}(a-c)^{k}f(x)+(b-a)^{k}(b-c)^{k}f(y)+(c-a)^{k}(c-b)^{k}f(z)\geq$ $0$

Cách việt cuối cùng này là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Van Khea khi ta chọn

$\displaystyle m=\frac{(a-b)^k(a-c)^k}{z-y} , n=\frac{(a-b)^k(b-c)^k}{z-x} , p=\frac{(a-c)^k(b-c)^k}{y-x}$ (Trong trường hợp này k là số lẻ)

Có rất nhiều cuốn sách đã giải về bất đẳng thức Schur theo cách viết trong dạng một và hai nhung mà

cách viết theo dạng ba chứa thấy cuốn sách nào viết về cách giải của nó. Bây giờ em xin giải bất đẳng thức

dạng ba bằng bất đẳng thức vankhea . rất đơn giản

Bây giơ ta xét nếu k là số chẵn thi nó luôn đúng.

Nếu k là số lẻ thi ta có thể viết một cách dưới đây

$(a-b)^k(a-c)^kf(x)-(a-b)^k(b-c)^kf(y)+(a-c)^k(b-c)^kf(z)\geq 0$

Đặt $\displaystyle m=\frac{(a-b)^k(a-c)^k}{z-y} , n=\frac{(a-b)^k(b-c)^k}{z-x} , p=\frac{(a-c)^k(b-c)^k}{y-x}$

só sánh m , n , p thì ta nhận được $m\geq n , p\geq n$

theo bất đẳng thức van khea thì ta nhận được

$m(z-y)f(x)-n(z-x)f(y)+p(y-x)f(z)\geq 0$

thay m, n, p vào thì ta được

$(a-b)^k(a-c)^kf(x)-(a-b)^k(b-c)^kf(y)+(a-c)^k(b-c)^kf(z)\geq 0$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Filed under: Bất đẳng thức Schur | Leave a comment »

Bất đẳng thức Van Khea

Posted on June 1, 2010 by vanha1988

đây là một bất đẳng thức mới của ông Van Khea. Bất đẳng thức này cũng rất hay sử dụng.

1) Cho hàm số $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}$ thoả mãn là hàm lối $(f''<0)$ với $a\leq b\leq c , a,b,c\in I$ và với các số dương $m, n, p$ sao cho $n=Max(m, p)$ thì ta được bất đẳng thức như sau:

$m(c-b)f(a)-n(c-a)f(b)+p(b-a)f(c)\leq 0$

2) Cho hàm số $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}$ thoả mãn là hàm lõm $(f''>0)$ với $a\leq b\leq c , a,b,c\in I$ và với các số dương $m, n, p$ sao cho $n=Min(m, p)$ thì ta được bất đẳng thức như sau: