Aprkosimasi terbaik dan kuadrat terkecil

Secara bahasa aproksimasi bermakana hampiran atau pendekatan. Sebagai contoh dalam kehoidupan sehari-hari kita sering mendengar atau mungkin melakukan sendiri pengukuran, jika kita menggunakan mistar biasa yang harganya Rp. 500; kita mungkin akan mendapatkan ukuran yang pas, misalnya 5 cm. Hasil pengukuran ini tidaklah pasti karena jika menggunkana alat yang lebih teliti kita akan bisa mendapatkan angka yang lebih detail lagi, misalnya 4,99 cm, atau 4,999… cm, tetpi kita bulatkan menjadi 5, aktifitas pembulatan inilah yang disebut aproksimasi

Lalu apakah yang dimaskud dengan aprokmasi terbaik itu?????

Tentu saja aproksimasi terbaik ini maksudnya adalah pendekatan, hampiran atau pembulatan yang paling dekat. Aproksimasi terbaik banyak digunakan dalam berbagai bidang antara lain fungsi matematika, bentuk, dan hokum-hukum fisika, dan yang akan dibahas disini adalah proyeksi ortogonal dipandang sebagai aprkosimasi.

1. Proyeksi ortogonal di pandang sebagai aproksimasi

Teorema 6.4.1

Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V, dan jika u adalah sebuah vektor pada V, maka projw u adalah aproksimasi terbaik bagi u pada W, dalam pengertian bahwa II u-projw u II < II u-w II untuk setiap vektor w pada W yang bukan projw u.

Bukti:

Untuk setiap vektor w pada W kita dapat menuliskan u-w = (u- projw ) + (projw u-w), Namun projw u-v, karena merupakan selisih dari dua buah vektor pada W, terletak pada W, dan U- projw U orotgonal terhadap W, sehinnga kedua suku pada sisi kanan (1) saling ortogonal. Dengan demikian melalui teorema Phytagoras

||u – w||² = ||u – proj_w u||² + ||proj_w u – w||²

Jika w ≠ proj_w u, maka suku kedua dari penjumlahan di atas akan bernilai positif, sehingga ||u – w||² > ||u – proj_w u||² atau secara ekuivalen, ||u – w|| > ||u – proj_w u||

Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi beriut:

(b)

Jika P adalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan W adalah sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka titik Q pada W yang jaraknya terdekat pada P dapat diperoleh dengan memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W,(gambar a) sehinnga jika U=OP jarak antara P dan W diberikan oleh II u-projw u II dengan kata lain, diantara semua vektor w pada W, vektor

w = projw u, meminimalkan jarak IIu-wII gambar (b)

disamping itu ada cara lain juga untuk memahami pernyataan ini, Pandang u sebagai sebuah vektor tetap yang hendak kita aproksimasikan dengan menggunakan sebuah vektor pada W. Setiap aproksimasi w semacam ini akan menghasilkan sebuah “vektor kesalahan ” (“error vector”) yang bisa kita tulis

u – w
u – w tidak dapat dijadikan sama dengan 0, terkecuali jika u terletak pada W. Akan tetapi, dengan memilih w = proj_w u

kita dapat menjadikan panjang vektor kesalahan

||u – w|| = ||u – proj_w u|| (lihat gambar diatas)

sekecil mungkin. Sehingga, kita dapat mendeskripsikan proj_wu sebagai
“aproksimasi terbaik“ bagi u relatif terhadap vektor-vektor pada W.

Pengertian Solusi Kuadrat Terkecil dari Sistem Linear

Solusi kuadrat terkecil (least square solution) merupakan suatu vector x pada suatu sistem linear Ax = b yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, sedemikian hingga vector tersebut dapat meminimalkan nilai||Ax – b|| merujuk pada hasil kali dalam Euclidean pada R^m.

Catatan:

Diumpamakan bahwa e = Ax – b, yang dapat dipandang sebagai vector kesalahan yang dihasilkan oleh aproksimasi terhadap x. jika e = (e1, e2,…..em) maka sebuah solusi kuadrat terkecil akan meminimalkan

ll e ll² =

Dan oleh karena itu, maka akan meminimalkan llell = e1²+e2²+…….+em² . Sehingga dari sinilah istilah kuadrat terkecil muncul.

Penyelesaian masalah solusi kuadrat terkercil dari sistem linear

• Secara geometric, menyelesaikan persoalan kuadrat terkecil berarti menentukan sebuah vector x pada Rⁿ, sedemikian rupa sehingga Ax merupakan vector terdekat ke b didalam W.
  
• Berdasarkan teorema aproksimasi terbaik bahwa vector terdekat dari b didalam W adalah proyeksi orthogonal b pada W. sehingga, agar sebuah vector x dapat menjadi solusi kuadrat terkecil dari Ax = b, vector ini harus memenuhi Ax = proy_w b (gmbr. a)
  

   

Teorema

Untuk system linier sebarang Ax = b, system normal yang terkait

A^T Ax = A^Tb

Bersifat konsisten, dan semua solusi dari system normal adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax=b. selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, dan x adalah solusi kuadrat terkecil sebarang dari Ax=b, maka proyeksi orthogonal b pada W adalah

proj_Wb= Ax

Keunikan Solusi Kuadrat Terkecil

Teorema

Jika A adalah sebuah matriks m X n, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

1. A memiliki vector-vektor kolom yang bebas linier
   
2. A^TA dapat dibalik
   

Bukti:

Disini kita hanya membuktikan a→b.

Kita asumsikan a memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linier. Matriks A^TA memiliki ukuran n × n sehingga kita dapat membuktikan matrks ini dapat dibalik dengan menunjukkan sistem linier  yang hanya memiliki solusi trivial. Tetapi jika x adalah sebuah solusi dari sistem ini, maka Ax terletak pada ruang nul dari  A^T dan juga ruang kolom dari A. Berdasarkan teorema ruang-ruang ini adalah komplemen-komplemen ortogonal, mengakibatkan Ax = 0. Namun A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linier sehingga x = 0.

Jika A adalah matriks m × n yang memiliki vektor-vektor  kolom yang bebas linier, maka untuk setiap matriks b,
m × 1, sistem linier Ax =
b memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik. Solusi ini diberikan oleh

x = (A^TA)^-1 A^Tb

Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

Teorema

Jika A adalah sebuah matriks m X n yang memiliki vector-vektor kolom yang bebas linier, maka untuk setiap matriks b, m X 1, system linier Ax = b memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik. Solusi ini diberikan oleh

1. x = ( A^TA )^-1A^Tb
   
2. selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, maka proyeksi orthogonal b pada W adalah
   
3. proj_Wb = Ax = ( A^TA )^-1A^Tb
   

Teorema

Jika A adalah sebuah matriks n X n, dan jika T_A: Rⁿ Rⁿ adalah perkalian dengan A, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

1. A dapat dibalik
2. Ax= 0 hanya memiliki solusi trivial
3. Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I_n.
4. A dapat dinyatakan sebagai hasilkali dari matriks-matriks elementer
5. Ax=b konsisten untuk setiap matriks b, n X 1
6. Ax=b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b, n X 1
7. Det (A) = 0
8. Range dari T_A adalah Rⁿ.
9. T_A adalah satu ke satu.
10. Vektor-vektor kolom dari A bebas linier
11. Vektor-vektor baris dari A bebas linier
12. Vektor-vektor kolom dari A merentang Rⁿ
13. Vektor-vektor baris dari A merentang Rⁿ
14. Vektor-vektor kolom dari A membentuk basis untuk Rⁿ
15. Vektor-vektor baris dari A membentuk basis untuk Rⁿ
16. A memiliki rank n
17. A memiliki nulitas 0
18. Komplemen orthogonal ruang nul dari A adalah Rⁿ
19. Komplemen orthogonal ruang baris dari A adalah {0}
20. A^TA dapat dibalik.

Refrensi : Aljabar Linier Elementer, edisi kedelapan. Jilid 1

1. Pertama2, baca do’a,
2. Buka maple 9.5
3. Baca entri selengkapnya »

oroginal ngintip………. Baca entri selengkapnya »

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!